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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 10

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C y 2 z   d s

C é o segmento de linha de ( 3,1 , 2 ) até ( 1,2 , 5 ) .

Passo 1

E aí, gente legal. Tudo belezal?

Então, nessa questão precisamos calcular o valor da integral de linha

∫ C y 2 z   d s

Onde temos informações sobre a região C , que é segmentado por uma linha que vai de ( 3,1 , 2 ) até ( 1,2 , 5 ) .

Para resolver essa questão, iremos usar t como parâmetro, achar os limites de integração e utilizar uma fórmula importantíssima para o cálculo de integrais de linhas. Simbora?

Passo 2

Antes de tudo, estamos trabalhando com um segmento de linha, reta, como queira chamar.

Primeiro, vamos representar esses pontos como um vetor:

Vamos chamar de

P = 3,1 , 2

Q = 1,2 , 5

Assim,

P Q → = 1,2 , 5 - 3,1 , 2 = ( - 2 ,   1 ,   3 )

Agora precisamos encontrar a equação paramétrica dessa reta

r : x ,   y ,   z = x 1 ,   y 1 ,   z 1 + t ( a ,   b ,   c )

Assim, escolhemos um dos pontos e fazemos

r : x ,   y ,   z = 3 ,   1 ,   2 + t ( - 2 ,   1 ,   3 )

r : ( 3 - 2 t ,   1 + t ,   2 + 3 t )

Logo, teremos que

x = 3 - 2 t

y = 1 + t

z = 2 + 3 t

0 ≤ t ≤ 1

Passo 3

Para calcular a integral de linha, usaremos essa fórmula aqui:

∫ C f ( x ,   y ,   z )   d s = ∫ a b f x t ,   y t ,   z t d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Vamos agora calcular o valor das derivadas em relação a t , sendo assim:

Depois de parametrizar tudo, precisamos calcular o valor das derivadas em relação a t , sendo assim:

d x d t = - 2

d y d t = 1

d z d t = 3

Agora, substituindo o valor das expressões na fórmula, temos:

∫ 0 1 1 + t 2 2 + 3 t - 2 2 + 1 2 + 3 2   d t

Abrindo o produto notável e agrupando os termos em comum, temos:

14 ∫ 0 1 ( 3 t 3 + 8 t 2 + 7 t + 2 )   d t

Agora, resolvendo a integral para t , temos:

14 3 4 t 4 + 8 3 t 3 + 7 2 t 2 + 2 t 0 1

14 3 4 1 4 + 8 3 1 3 + 7 2 1 2 + 2 ( 1 ) - 0

14 3 4 + 8 3 + 7 2 + 2 = 107 12 14

Resposta

∫ C y 2 z   d s = 107 14 12

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