Calcule o valor de

lim(x→1) [2x * 2 - (3x + 1) * raiz(x) + 2] / (x - 1)

por representação gráfica. Depois confirme o cálculo com a regra de L’ Hopital.

Passo 1

Para a gente determinar para onde a função vai, precisamos substituir valores bem próximos de 1 e avaliar o comportamento do gráfico.

Passo 2

Olhando o gráfico a gente vê que ela vai para valores mais baixos. Então essa função vai para -1 quando x vai para 1.

Passo 3

Agora a gente vai aplicar L’ Hopital para confirmar esse reusltado!

Se substituirmos o x por 1, temos

l i m x → 1   2 x 2 - ( 3 x + 1 ) x + 2 x - 1 = 0 0

Então a gente pode aplicar LH direto.

Passo 4

Derivando em cima e em baixo:

l i m x → 1   2 x 2 - ( 3 x + 1 ) x + 2 ' x - 1 ' = l i m x → 1   2 ⋅ 2 x - ( 3 x + 1 ) x ' + 0 1

l i m x → 1   4 x - ( 3 x + 1 '   ⋅   x   +   ( 3 x + 1 ) ⋅ ( x ) ' 1 = l i m x → 1   4 x - 3 ⋅ x + ( 3 x + 1 ) ⋅ 1 2 x - 1 / 2

Passo 5

Agora podemos substituir o limite:

  4 ⋅ 1 - 3 ⋅ 1 + ( 3 ⋅ 1 + 1 ) ⋅ 1 2 ⋅ 1 - 1 / 2 = 4 - ( 3 + 4 2 ) = 4 - ( 3 + 2 ) = 4 - 5 = - 1

Resposta

l i m x → 1   2 x 2 - ( 3 x + 1 ) x + 2 x - 1 = - 1

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