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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 69

A regra de l'Hôpital não ajuda com os limites nos Exercícios 67-74. Tente, mas você apenas entrará em um ciclo vicioso. Determine os limites de outra forma.

lim x → π 2 - ⁡ sec ⁡ x t g   x

Passo 1

Veja que temos um limite indeterminado, porém se aplicarmos L’Hôpital, ficamos com:

lim x → π 2 - ⁡ sec ⁡ x t g   x = l i m x → π 2 - sec ⁡ x   t g   x sec 2 ⁡ x =   l i m x → π 2 - t g   x sec ⁡ x

E vai continuar nesse ciclo sucessivamente...

Passo 2

Vamos reescrever o limite pela definição de secante e tangente:

lim x → π 2 - ⁡ sec ⁡ x t g   x =   lim x → π 2 - ⁡ 1 cos ⁡ x 1 t g   x =

lim x → π 2 - ⁡ 1 cos ⁡ x cos ⁡ x s e n   x =   l i m x → π 2 - 1 s e n   x

Substituímos o valor agora...

l i m x → π 2 - 1 s e n   π 2 = 1 1 = 1

E... pronto😊

Resposta

lim x → π 2 - ⁡ sec ⁡ x t g   x = 1

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Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 2 e - x
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → 1 +( ⁡ 1 1 - x - 1 ln ⁡ x)
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → 0⁡ x - s e nxxt gx
Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite: lim x → ∞ ⁡ [ ln ⁡ 2 x- ln ⁡ ( x + 1 ) ]
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 +l nx 2 l n s e nx