10 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo:

lim x → ∞ ⁡ x - 8 x 2 12 x 2 + 5 x

Passo 1

Primeiramente vamos considerar x = ∞ .

∞ - 8 ⋅ ∞ 2 12 ⋅ ∞ 2 + 5 ⋅ ∞ = ∞ ∞

Temo então uma indeterminação, para resolver este exercício aplicaremos a regra de l’ Hôpital, que consistem em derivar o numerador e derivar o denominador.

Considerando f x = x - 8 x 2 e g x = 12 x 2 + 5 x

Para a regra teremos o seguinte:

l i m x → ∞ f ' ( x ) g ' ( x )

Derivando f ( x )

Dado a regra de derivada:

x n = n x n - 1 Lembrando que a derivada de uma constante sempre será 0.

Resolvendo:

1 ⋅ x 1 - 1 - 2 ⋅ 8 x 2 - 1 = 1 - 16 x

Derivando: g ( x )

2 ⋅ 12 x 2 - 1 + 1 ⋅ 5 x 1 - 1 = 24 x + 5

Analisando o limite com a primeira derivada:

lim x → ∞ ⁡ 1 - 16 x 24 x + 5 = ∞ ∞

Novamente obteremos uma indeterminação.

Passo 2

Desta forma vamos derivar novamente a função, agora dada:

f x = 1 - 16 x e g x = 24 x + 5

Derivando teremos:

f ' x = 0 - 1 ⋅ 16 x 1 - 1 - 0 = - 16

g ' x = 1 ⋅ 24 x 1 - 1 + 0 = 24

Passo 3

Aplicando novamente o limite:

lim x → ∞ ⁡ - 16 24 = - 16 24

O limite de constantes será sempre uma constante, para melhorar a resposta poderemos simplificar os resultados por 8, observe:

- 2 3

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x - 8 x 2 12 x 2 + 5 x =   - 2 3

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