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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 11

11 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo:

lim x → ∞ ⁡ 5 x 3 - 2 x 7 x 3 + 3

Passo 1

Primeiramente vamos considerar x = ∞ .

5 ⋅ ∞ 3 - 2 ∞ 7 ∞ 3 + 3 = ∞ ∞

Temo então uma indeterminação, para resolver este exercício aplicaremos a regra de l’ Hôpital, que consistem em derivar o numerador e derivar o denominador.

Considerando f x = 5 x 3 - 2 x e g x = 7 x 3 + 3

Para a regra teremos o seguinte:

l i m x → ∞ f ' ( t ) g ' ( t )

Derivando f ( x )

Dado a regra de derivada:

x n = n x n - 1 Lembrando que a derivada de uma constante sempre será 0.

Resolvendo:

3 ⋅ 5 x 3 - 1 - 1 ⋅ 2 x 1 - 1 = 15 x 2 - 2

Derivando: g ( x )

3 ⋅ 7 x 3 - 1 + 0 = 21 x 2

Analisando o limite com a primeira derivada:

lim x → ∞ ⁡ 15 x 2 - 2 21 x 2 = ∞ ∞

Novamente obteremos uma indeterminação.

Passo 2

Desta forma vamos derivar novamente a função, agora dada:

f x = 15 x 2 - 2 e g x = 21 x 2

Derivando teremos:

f ' x = 2   ⋅ 15 x 2 - 1 - 0 = 30 x

g ' x = 2 ⋅ 21 x 2 - 1 = 42 x

Aplicando novamente o limite:

lim x → ∞ ⁡ 30 x 42 x = ∞ ∞

Outra indeterminação, aplicaremos novamente a regra de l’ Hôpital derivando as funções novamente.

Passo 3

Agora dado:

f x = 30 x e g x = 42 x

Teremos:

f ' x = 1 ⋅ 30 x 1 - 1 = 30

g ' x = 1 ⋅ 42 x 1 - 1 = 42

Resolvendo o limite:

lim x → ∞ ⁡ 30 42

O limite de constantes será sempre as constantes, neste caso o limite será igual a 30 42 .

Poderemos simplificar numerador e denomindador, dividindo eles por 6, assim teremos:

5 7

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 5 x 3 - 2 x 7 x 3 + 3 = 5 7

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