Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.3 - Ex. 67
67. a) Calcule os valores (aproximados) dos termos da sequência:
De qual número esses termos aparentemente se aproximam?
b) Use a Equação para confirmar sua resposta na parte a).
c) Seja um inteiro positivo. Qual é o número que é aproximado mais e mais pelos termos da sequência a seguir?
Passo 1
a) Então galera, o que temos que fazer aqui é encontrar uma expressão geral para a base e para o expoente dos termos que a questão nos cede. Para os valores da base temos o seguinte:
Para os valores do expoente temos o seguinte:
Vale ressaltar que são números naturais, tudo bem? Dessa forma, sabendo disso temos:
Para :
Para :
Para :
Conseguimos notar que essa sequência está se aproximando do número de Euler, galera! Sendo assim, temos:
Passo 2
b) A equação em questão é a seguinte, pessoal:
Para a expressão da questão anterior podemos utilizar uma substituição, que é chamar . Se fizermos isso, teremos:
Substituindo no nosso limite:
Que é exatamente idêntico à equação , portanto fica provado que, de fato, nosso resultado está correto.
Passo 3
c) De acordo com a letra a) a sequência tende ao número de Euler, que é dado pela letra e vale aproximadamente . Tendo isso em vista, temos que a sequência que nos foi dada agora tenderá para o mesmo número, mas agora dependendo de , ou seja:
E está aí nossa resposta!
Resposta
a)
b) Demonstração no passo 2.
c)