Seja f(x) = b^x , em que 0 < b . Use o princípio da substituição para confirmar o comportamento assintótico dessa função ilustrado na Figura 0.5.1. [Sugestão f(x) = b^x = e^(ln(b) * x) = e^[ln(b) * x] .

Passo 1

Então pessoal, o que o enunciado quer que façamos é analisar o limite da função dada, que é f x = b x . Para resolvermos o limite a questão nos cede algumas sugestões, se liga:

lim x → + ∞ ⁡ b x

No entanto, sabemos que f x = b x = e ln ⁡ b x = e ln ⁡ b x ] , sendo assim podemos fazer:

lim x → + ∞ ⁡ b x = lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ b x

Tudo bem, a primeira parte foi construída!

Passo 2

Agora que já temos um limite para resolver, vamos dar sequência à resolução! Como aparece um logaritmo no nosso expoente, então teremos que analisar alguns valores para b . Como a questão nos diz que b > 0 , então tem três casos possíveis para analisarmos, que são:

b < 1 ,   b = 1   e   b > 1

Para b < 1 temos que o logaritmo resultará em um valor negativo, logo:

lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ b x = 1 e x = 0

Para b = 1 temos que o logaritmo resultará em 0 , então nosso limite será:

lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ b x = e 0 = 1

Por fim, para b > 1 temos que o logaritmo resultará em um valor positivo, logo:

lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ b x = e x = + ∞

E está aí nossa resolução, pessoal!

Resposta

Para b < 1 : lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ b x = 0 ;

Para b = 1 : lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ b x = 1 ;

Para b > 1 : lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ b x = + ∞ .

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