Enunciado

55-62. Encontre os limites usando uma substituição apropriadas.

62. lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x x [Sugestão: t = x 2 ].

Passo 1

Então galera, para resolvermos esse limite vamos utilizar a sugestão que o enunciado nos dá, ok? Nosso limite é:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x x

A substituição que vamos utilizar é t = x 2 , bele? Para x → + ∞ teremos:

t = + ∞ 2 = + ∞

Tudo bem, agora temos como escrever todo nosso limite em termos de t e é exatamente o que faremos, beleza? Bora lá!

Passo 2

Substituindo os dados que encontramos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x x = lim t → + ∞ ⁡ 1 + 1 t 2 t

Podemos reescrever esse expoente da seguinte forma:

lim t → + ∞ ⁡ 1 + 1 t t 2

Opa, aqui aparece algo interessante, pessoal! Esse limite que chegamos é definido da seguinte forma:

lim t → + ∞ ⁡ 1 + 1 t t = e

Sendo assim, temos que nosso resultado será:

lim t → + ∞ ⁡ 1 + 1 t t 2 = e 2

∴ lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x x = e 2

E está aí nosso limite resolvido, pessoal! 😉

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x x = e 2

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