Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.8 - Ex. 19
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule a convergente
Passo 1
E ai galerinha, bora lá? Temos que determinar se o seguinte integral é convergente ou divergente:
Temos uma integral imprópria do tipo 1, ou seja, com intervalo infinito. Por definição temos que:
Então pra resolver essa questão, vamos primeiro escrever ela como um limite. Depois a gente calcula a integral e por último a gente avalia: É possível calcular o limite?
A melhor forma de descobrir se uma coisa é possível é tentando!
Se chegarmos a um resultado numérico, então a nossa integral é convergente, se não ela é divergente!
Passo 2
Temos então:
Vamos calcular a integral do limite e só depois avaliar o limite:
Aqui vamos usar a técnica de integração por partes:
Ou seja, a gente vai “repartir” nossa integral e reescrever ela! Mas atenção, a gente não pode escolher o nosso de qualquer jeito! Se liga nessa ordem de prioridade:
Na nossa integral temos que é uma função algébrica e que é logarítmica, então por prioridade teremos:
Precisamos achar e . Derivando :
Integrando :
Montando a nossa integral por partes:
Resolvendo a integral:
Então:
Passo 3
Portanto, temos:
Aplicando os limites de integração:
Passo 4
Então:
Vamos avaliar o limite:
Quando substituímos valores negativos muito altos em tendemos a zero, portanto:
Chegamos a um resultado, então nossa integral converge pra !
Resposta
converge para .