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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 63

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ - ∞ ∞ d x x 4 + 1  

Passo 1

Vamos dividir a integral em duas:

∫ - ∞ 0 d x x 4 + 1 +   ∫ 0 ∞ d x x 4 + 1  

Observe que isso é o mesmo que:

2   ∫ 0 ∞ d x x 4 + 1

Então vamos analisar a convergência dessa última integral aí.

Vamos resolver essa pelo método da comparação direta. O método diz que se temos duas funções f ( x ) e g ( x ) , e 0 ≤ f x ≤ g ( x ) , se a maior converge, a menor também converge, e se a menor diverge a maior também diverge.

Vamos escolher funções adequadas para fazer o comparativo então...

Passo 2

Seja f x = 1 x 4 + 1 (a função que queremos) e g x = 1 x 4 . Observe que temos:

1 < 1 x 4 + 1 < 1 x 4

Vamos testar a convergência da função maior, a g x :

∫ 0 ∞ 1 x 4   d x =   ∫ 0 ∞ 1 x 2   d x

Um detalhezinho que vai nos poupar trabalho: sempre que temos uma integral do tipo ∫ a ∞ 1 x p   d x se p > 1 a integral converge, e se     p ≤ 1 , a integral diverge.

Então... g ( x ) converge né? E se a maior converge, a menor converge.

Com isso temos que ∫ - ∞ ∞ d x x 4 + 1 converge.

Resposta

∫ - ∞ ∞ d x x 4 + 1 converge

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