Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 5
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Fala aí! Tudo bom?! Bora resolver uma integralzinha! Aqui temos:
O enunciado pede pra a gente determinar se essa integral é convergente ou divergente e se ela for convergente temos que calcula-la!
O que temos em mãos é uma integral imprópria do tipo 1, a gente sabe disso pois um dos seus limites de integração é infinito.
Por definição temos que:
Então pra resolver essa questão, vamos primeiro escrever ela como um limite. Depois a gente calcula a integral e por último a gente avalia: É possível calcular o limite?
A melhor forma de descobrir se uma coisa é possível é tentando!
Se chegarmos a um resultado numérico, então a nossa integral é convergente, se não ela é divergente!
Passo 2
Escrevendo a nossa integral na forma de limite, temos:
Pra calcular essa integral vamos ignorar os limites e fazer de conta que ela é uma integral indefinida. Depois a gente volta com os intervalos direitinho, ok?!
Temos então:
Repara que é uma função composta, poderíamos escreve-la como onde . Concorda?!
Então vamos resolver essa integral por substituição simples. Se você não lembra, ela funciona assim:
Então:
Agora é só substituir:
Lembrando que: , então:
Agora podemos usar a regra da potência:
Temos então:
Lembrando que , então podemos escrever o nosso resultado assim:
Temos que , então:
Agora a gente vai voltar pra nossa expressão original! Como a nossa integral de verdade é definida, então podemos jogar esse fora:
Aplicando os limites de integração:
Passo 3
Agora precisamos avaliar esse limite:
Se substituímos o infinito na função vamos ter:
Concorda?! Afinal se pegarmos um número muuuuuuito grande, subtrair e tirarmos a raíz, ainda sim ele será um número muito grande!
Agora, você também concorda que:
Testa aí na calculadora, divide por . Vai dar um número muito pequeninho. Então quanto mais o denominador cresce, mais o resultado se aproxima de zero!
Vamos calcular o limite:
Vimos que:
Então:
Conseguimos calcular o limite, isso significa que a nossa integral é convergente! Finalmente podemos dizer que:
Resposta
converge para .