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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 3l

3. Calcule e verifique sua resposta por derivação

l ) int ((1)/(3) + (5)/(2) cos 7 x) d x

Passo 1

Para facilitar as contas, podemos separar essa integral em duas por se trata se uma subtração de termos. Assim,

int (1)/(3) d x + int (5)/(2) cos 7 x d x

Passo 2

Agora, sabendo que ambas se tratam de primitivas imediatas. Como a primeira integral se trata de uma constante, temos a primitiva imediata dada por int c d x = c x + k , sendo c e k constantes. Enquanto que a segunda integral é da função cosseno, com primitiva imediata dada int cos alpha x d x = (1)/(alpha) sin alpha x + k , sendo k uma constante. Logo,

int (1)/(3) d x + int (5)/(2) cos 7 x d x = (1)/(3) x + (1)/(7) * (5)/(2) sin 7 x + k = (1)/(3) x + (5)/(14) sin 7 x + k

Passo 3

Vamos derivar o resultado que obtivemos para conferir se a integral está correta. Para isso, precisamos lembrar que a derivada de um polinômio é dada por ( x^(alpha) ) ' = alpha x^(alpha - 1) e que ( sin u ) ' = u^' cos u . Então,

((1)/(3) x + (5)/(14) sin 7 x + k)^' = ((1)/(3) x)^' + ((5)/(14) sin 7 x)^' + (k)^' = (1)/(3) + 7 (5)/(14) cos 7 x + 0 = (1)/(3) + (5)/(2) cos 7 x

Ou seja, a integração está correta

Resposta

Portanto, o resultado a integração é

int ((1)/(3) + (5)/(2) cos 7 x) d x = (1)/(3) x + (5)/(14) sin 7 x + k

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