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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 3o

3. Calcule e verifique sua resposta por derivação

o ) int (sin 2 x)/(cos x) d x

Passo 1

Vamos usar uma identidade trigonométrica para resolver essa integral, a melhor que se adequa é a sin 2 x = 2 sin x cos x . Substituindo na integral:

int (sin 2 x)/(cos x) d x = int (2 sin x cos x)/(cos x) d x

Podemos cortar o cosseno do numerador com o do denominador, chegando a

int 2 sin x d x

Passo 2

Agora vamos resolver essa integral que se trata de uma primitiva imediata dada por int sin alpha x d x = - (1)/(alpha) cos alpha x + k . Então,

int 2 sin x d x = - 2 cos x + k

Passo 3

Agora para verificarmos, vamos derivar. Lembrando que ( cos u ) ' = - u ' sin u . Logo,

(- 2 cos x + k)^' = - ( - 2 sin x ) + 0 = 2 sin x

Para voltar ao resultado anterior, vamos multiplicar e dividir esse termo por cos x .

2 sin x (cos x)/(cos x) = (2 sin x cos x)/(cos x)

E como já sabemos, sin 2 x = 2 sin x cos x . Então,

(2 sin x cos x)/(cos x) = (sin 2 x)/(cos x)

Assim, confirmamos o resultado da integral

Resposta

Portanto, a resposta é

int (sin 2 x)/(cos x) d x = - 2 cos x + k

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t)int (x^5 + x + 1)/(x^2) d x
i)∫ 1 x + 1 x 2 d x
q)int ((1)/(x) + (1)/(e^x)) d x
g)∫ 1 x 3 d x
f)int x^(- 4) d x