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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 3p

3.Calcule.

int sin x sec^3 x d x

Passo 1

Oi, pessoal! A gente consegue resolver essa integral fazendo uma substituição simples! Mas antes de usarmos essa técnica de integração, vamos precisar dar uma mexida na função.

Lembra que,

sec x = (1)/(cos x)

Então, podemos escrever a nossa integral dessa forma,

int sin x sec^3 x d x = int (sin x)/(cos^3 x) d x

Partiu integrar?!

Passo 2

A substituição que vamos fazer será,

u = cos x

d u = - sin x d x

Substituindo na integral,

int - (d u)/(u^3) = int - u^(- 3) d u = (u^(- 2))/(2) + C = (1)/(2 u^2) + C

Voltando para variável x

int sin x sec^3 x d x = (1)/(2 cos^2 x) + C

Mas lembra que sec x = (1)/(cos x) , então,

int sin x sec^3 x d x = (sec^2 x)/(2) + C

Resposta

int sin x sec^3 x d x = (sec^2 x)/(2) + C

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