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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 2f

2. Calcule

f ) int_1^2 (x^3 + 1)/(x) d x

Passo 1

Cara, pra facilitar nossa vida, primeiro vamos calcular a integral indefinida e aí depois aplicamos os limites de integração, pode ser?

Primeiro, para facilitar os cálculos, podemos separar essa fração em duas partes, pois o numerador é composto por uma soma, sendo assim:

int (x^3)/(x) + (1)/(x) d x

Mas a divisão (x^3)/(x) é igual x ² , então:

int x^2 + (1)/(x) d x

Passo 2

Como temos uma soma na integral, podemos separá-la em duas integrais, pois por propriedade, a integral da soma é a soma das integrais

int x^2 + (1)/(x) d x = int x^2 d x + int (1)/(x) d x

Para a primeira integral, como se trata de um polinômio iremos usar a primitiva imediata int x^(alpha) d x = (x^(alpha + 1))/(alpha + 1) .

Já na segunda integral, temos a primitiva imediata int (1)/(x) d x = l n |x| . Com isso, temos:

int x^2 d x + int (1)/(x) d x = (x^3)/(3) + ln |x|

Passo 3

Agora que sabemos o resultado da integral indefinida, vamos aplicar os valores do intervalo de integração:

int_1^2 (x^3 + 1)/(x) d x = [(x^3)/(3) + ln |x|]_1^2

int_1^2 (x^3 + 1)/(x) d x = ((2^3)/(3) + ln |2|) - ((1^3)/(3) + ln |1|)

int_1^2 (x^3 + 1)/(x) d x = (8)/(3) + ln 2 - (1)/(3) - ln 1

int_1^2 (x^3 + 1)/(x) d x = (8 - 1)/(3) + ln 2 - ln 1

Sabemos que ln 1 = 0 , pois o logaritmo de 1 em qualquer base é 0 né hehe

int_1^2 (x^3 + 1)/(x) d x = (7)/(3) + ln 2 - 0

Por fim:

int_1^2 (x^3 + 1)/(x) d x = (7)/(3) + ln 2

Resposta

int_1^2 (x^3 + 1)/(x) d x = (7)/(3) + ln 2

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l)∫ x + 1 x d x
n)∫ e 5 x d x
a)int_0^1 e^(2 x) d x
b)∫ 1 2 x + 1 x d x
2. Calculee ) int_0^((1)/(2)) (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x