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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 3g

Calcule.

g) underset(x -> + oo)(lim) (sqrt(x + sqrt(x)) - sqrt(x - 1))

Passo 1

Para resolver esse tipo de limite, em que há uma indeterminação do tipo oo - oo , podemos tentar multiplicar em cima e em baixo pelo conjugado, olha só:

underset(x -> + oo)(lim) (sqrt(x + sqrt(x)) - sqrt(x - 1)) = underset(x -> + oo)(lim) (sqrt(x + sqrt(x)) - sqrt(x - 1)) ((sqrt(x + sqrt(x)) + sqrt(x - 1)))/((sqrt(x + sqrt(x)) + sqrt(x - 1))) = underset(x -> + oo)(lim) ((sqrt(x + sqrt(x)) - sqrt(x - 1)) (sqrt(x + sqrt(x)) + sqrt(x - 1)))/((sqrt(x + sqrt(x)) + sqrt(x - 1))) = underset(x -> + oo)(lim) ((sqrt(x + sqrt(x)))^2 - (sqrt(x - 1))^2)/(sqrt(x + sqrt(x)) + sqrt(x - 1))

= underset(x -> + oo)(lim) ((x + sqrt(x)) - (x - 1))/(sqrt(x + sqrt(x)) + sqrt(x - 1))

= underset(x -> + oo)(lim) (sqrt(x) + 1)/(sqrt(x + sqrt(x)) + sqrt(x - 1))

Passo 2

Agora chegamos numa indeterminação mais simples de resolver, do tipo (oo)/(oo) , onde podemos dividir todos os termos do numerador e do denominador por sqrt(x) :

underset(x -> + oo)(lim) (sqrt(x) + 1)/(sqrt(x + sqrt(x)) + sqrt(x - 1)) = underset(x -> + oo)(lim) ((sqrt(x))/(sqrt(x)) + (1)/(sqrt(x)))/((sqrt(x + sqrt(x)))/(sqrt(x)) + (sqrt(x - 1))/(sqrt(x)))

Aqui, lembre-se de que (sqrt(a))/(sqrt(b)) = sqrt((a)/(b)) , beleza?

= underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(sqrt(x)))/(sqrt((x + sqrt(x))/(x)) + sqrt((x - 1)/(x)))

= underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(sqrt(x)))/(sqrt(1 + (1)/(sqrt(x))) + sqrt(1 - (1)/(x)))

Passo 3

Agora sim estamos prontos para avaliar o limite em x -> + oo , pois não haverá mais indeterminações:

underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(sqrt(x)))/(sqrt(1 + (1)/(sqrt(x))) + sqrt(1 - (1)/(x))) = (1 + 0)/(sqrt(1 + 0) + sqrt(1 - 0)) = (1)/(2)

Logo,

underset(x -> + oo)(lim) (sqrt(x + sqrt(x)) - sqrt(x - 1)) = (1)/(2)

Resposta

(1)/(2)

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Ache o limiteunderset(y - - oo)(lim) (sqrt(y^4 + 1))/(2 y^2 - 3)
Use uma calculadora para tabular os valores de f x para valores fixados de x . f x = x + 1 x 2 x é 2,6 , 10,100,1.000,10.000,100.000 e x é - 2 , - 6 , - 10 , - 100 , - 1.000 , - 10.000 , - 100.000 . a
Use uma calculadora para tabular os valores de f x para valores fixados de x . f x = x 2 x + 1 x é 2,6 , 10,100,1.000,10.000,100.000 e x é - 2 , - 6 , - 10 , - 100 , - 1.000 , - 10.000 , - 100.000 . a
Ache o limiteunderset(s - - oo)(lim) (4 s^2 + 3)/(2 s^2 - 1)
Use uma calculadora para tabular os valores de f x para valores fixados de x . f x = 5 x - 3 10 x + 1 x é 2,6 , 10,100,1.000,10.000,100.000 e x é - 2 , - 6 , - 10 , - 100 , - 1.000 , - 10.000 , - 100.