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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 10l

10. Calcule

l)

int (1 + sec (x))^2 d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I = int (1 + sec (x))^2 d x

Vamos começar analisando o termo integrante. Usando que (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 :

(1 + sec (x))^2 = 1 + 2 sec (x) + sec^2 (x)

Então,

I = int (1 + 2 sec (x) + sec^2 (x)) d x

Separando, temos:

I = int d x + 2 int sec (x) d x + int sec^2 (x) d x

Passo 2

Da seção 12.1 desse capítulo, temos o seguinte:

a ) int c d x = c x + k

i ) int sec^2 (x) d x = t g (x) + k

l ) int sec (x) d x = ln |sec (x) + t g (x)| + k

Passo 3

Agora é só usar essas relações para integrar!

I = x + k_1 + 2 (ln |sec (x) + t g (x)| + k_2) + t g (x) + k_3

Juntando as constantes e arrumando as coisas:

I = x + 2 ln |sec (x) + t g (x)| + t g (x) + k

Resposta

int (1 + sec (x))^2 d x = x + 2 ln |sec (x) + t g (x)| + t g (x) + k

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Nos Exercícios 23-28, use áreas para calcular as integrais.24 ∫ 0 b 4 xd x , b0
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