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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.7 - Ex. 2a

Passe a curva dada para coordenadas polares e desenhe-a:

x4 – y4 = 2xy

Passo 1

Primeiramente, sabemos que:

Logo, na primeira parcela:

X4 – y4 = (x² + y²) (x² - y²) = ρ 2 ρ 2 c o s 2 θ - ρ 2 s e n 2 θ = ρ 4 (cos²( θ ) - s e n ² ( θ ) )

Sabemos que cos²( θ ) - s e n ² ( θ ) = cos( 2 θ ) , e portanto X4 – y4 = ρ 4 cos( 2 θ )

Passo 2

Do outro lado, temos que 2xy = 2 ρ 2 s e n θ c o s ⁡ ( θ )

Sabemos que 2   s e n θ c o s ⁡ ( θ ) = sen(2 θ ) e portanto, 2xy = 2 ρ 2 s e n θ c o s ⁡ ( θ ) = ρ 2 sen(2 θ )

Igualando as equações, temos que:

ρ 2 sen(2 θ ) = ρ 4 cos( 2 θ )

Logo: ρ 2 = t g ( 2 θ )

Passo 3

Para esboçar o gráfico, utilizaremos uma tabela de valores que nos ajudará a entender o comportamento da curva:

Esboçando o gráfico, temos:

Resposta

ρ 2 = t g ( 2 θ )

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Ache o comprimento do arco da curva y = 1 3 x ( 3 x - 1 ) do ponto onde x = 1 ao ponto onde x = 4 .
Calcule o comprimento do segmento de reta y = 3 x do ponto ( 1 ,3 ) ao ponto ( 2 ,6 ) por três métodos: (a) use a fórmula da distância. (b) use o Teorema 6.3.2. (c) use o Teorema 6.3.3.
Use o Teorema 6.3.2 para encontrar o comprimento do arco da curva y 3 = 8 x 2 do ponto ( 1 ,2 ) ao ponto ( 27 ,18 ) .
Ache o comprimento do arco da curva x 2 3 + y 2 3 = 1 no primeiro quadrante, do ponto onde x = 1 8 ao ponto onde x = 1 .
Ache o comprimento do arco da curva y = 2 3 x - 5 3 / 2 do ponto onde x = 6 ao ponto onde x = 8 .