Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 19
Caminho de uma partícula atraída pelo calor Uma partícula atraída pelo calor tem a propriedade de, em qualquer ponto (x, y) no plano, mover-se na direção de máximo aumento da temperatura. Se a temperatura em (x, y) é T(x, y) =
–e–2y cos x, encontre uma equação y = ƒ(x) para o caminho de
uma partícula atraída pelo calor no ponto (p/4, 0).
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Uma determinada partícula possui a propriedade de em qualquer ponto no plano ela se move na direção da temperatura máxima. Se a temperatura em é , vamos encontrar uma equação para o caminho dessa partícula no ponto .Podemos começar? Então, vamos lá!
Passo 2
Como a partícula se move à procura de calor, a cada ponto ela se move na direção de aumento da máxima temperatura, ou seja, ela se move na direção de:
Como é paralelo ao vetor velocidade da partícula, então é tangente ao caminho da partícula.Derivando a função temos:
A integração da função leva à:
Para temos:
Assim, o caminho da partícula é o gráfico de
Resposta
Resposta nos passos.