Encontrando uma função a partir de derivadas parciais

de segunda ordem Encontre uma função w = ƒ(x, y) cujas

derivadas parciais de primeira ordem são ∂w/∂x = 1 + ex cos y

e ∂w/∂y = 2y – ex sen y e cujo valor no ponto (ln 2, 0) é ln 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Você chegou aos exercícios adicionais avançados! Nesta questão temos como tópico encontrando uma função a partir de derivadas parciais de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar a função w = f ( x , y ) a qual as primeiras derivadas parciais são ∂ w ∂ x = 1 + e x c o s ⁡ y e ∂ w ∂ y = 2 y - e x senyE que o seu valor em ( l n ⁡ 2,0 ) seja l n ⁡ 2 .Vamos aos cálculos? Acompanhe com atenção!

Passo 2

Para ∂ w ∂ x = 1 + e x c o s ⁡ y uma possível equação é do tipo:

w = x + e x c o s ⁡ y + g ( y )

E para ∂ w ∂ y = 2 y - e x seny a equação é do tipo:

∂ w ∂ y = - e x s e n ⁡ y + g ' ( y ) = 2 y - e x  sen  y

Observando as equações, vemos que:

g ' ( y ) = 2 y g ( y ) = y 2 + C

Temos então que: w = l n ⁡ 2 quando x = l n ⁡ 2 e y = 0 .Assim:

l n ⁡ 2 = l n ⁡ 2 + e l n ⁡ 2 c o s ⁡ 0 + 0 2 + C 0 = 2 + C   C = - 2

Chegamos à resposta de que a equação é:

w = x + e 2 c o s ⁡ y + g ( y ) w = x + e x c o s ⁡ y + y 2 - 2

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Se f(x, y) = 16 - 4 * x² - y² ², encontre f_x(1,2) e f_y(1,2) e interprete esses números como inclinações. Ilustre com esboços desenhados à mão ou gráficos de computador.
Se f(x, y) = raiz(4 - x² - 4y²) ², encontre f_x(1,0) e f_y(1,0) e interprete esses números como inclinações. Ilustre com esboços desenhados à mão ou gráficos de computador.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. f(x, y) = 3x - 2y^4
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.f(x, y) = x^5 + 3 + x^3 * y^2 + 3 * y^4
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. z = x * e^(3y)