Seja y = g(x) definida e derivável no intervalo aberto I , dada implicitamente pela equação f(x, y) = 0 , onde f(x, y) é suposta diferenciável no aberto A ⊂ R^2 . ∂f/∂x ⋅ ∂f/∂y > 0 em A.

  1. Com argumentos geométricos, mostre que é razoável esperar que g seja estritamente decrescente em I.
  2. Prove que g é descrente em I.

Passo 1

Vamos responder primeiro o item a), beleza?

Sabendo que a derivada de g com sinal trocado é o coeficiente angular da reta tangente na direção determinada pelo gradiente de f , e sabendo que o gradiente é o vetor normal ao ponto, que como ∂ f ∂ x ⋅ ∂ f ∂ y > 0 , então ∂ f ∂ x > 0 e   ∂ f ∂ x > 0 ,   significa que o vetor normal aponta pra cima e a inclinação da reta deve ser negativa, e portanto a função é decrescente.

Passo 2

Vamos responder primeiro o item b), beleza?

Como ∂ f ∂ x ⋅ ∂ f ∂ y > 0 , então ∂ f ∂ x > 0 e   ∂ f ∂ x > 0 .       Sabendo que

g ' x = - ∂ F ∂ y ∂ f ∂ x  

Como ∂ f ∂ x > 0 e   ∂ f ∂ x > 0 , temos que

g ' x < 0

Ou seja, g é estritamente decrescente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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