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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 12

12. Determinar o trabalho realizado pela força f → = y z e x z ,   e x z , x y e x z + 1 para deslocar uma partícula ao longo da curva y=2/x do ponto A(-1,-2,0) ao ponto B(-2,-1,0). Esse trabalho é maior, menor ou igual ao trabalho realizado pela mesma força f →   para deslocar uma partícula em linha reta de A até B?

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = y z e x z

f 2 = e x z

f 3 = x y e x z

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = z e x z

∂ f 2 ∂ x = z e x z

∂ f 1 ∂ z = y e x z + x y z e x z

∂ f 3 ∂ x = y e x z + x y z e x z

∂ f 2 ∂ z = x e x z

∂ f 3 ∂ y = x e x z

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = z e x z ,   ∂ f 1 ∂ z = ∂ f 3 ∂ x = y e x z + x y z e x z   e ∂ f 2 ∂ z = ∂ f 3 ∂ y = x e x z , então é conservativo.

Passo 2

Agora vamos determinar a função potencial u(x,y,z).

Temos

∂ u ∂ x = y z e x z                 1

∂ u ∂ y = e x z                 2

∂ u ∂ z = x y e x z                     3

Integrando a equação (1) em relação a x, ficamos com

u = ∫ y z e x z   d x

u = y e x z + a y , z

Obs: aqui a y , z é a constante de integração (ela é constante em relaçao a x)

Agora derivamos esse resultado em relação a y

∂ u ∂ y = e x z + ∂ a ∂ y

Se compararmos agora com a equação (2), percebemos que

∂ a ∂ y = 0

Então a é constante em relação a y também, então podemos escrever a z .

Substituindo na expressão de u

u = y e x z + a z

Derivando esse resultado em relação a z

∂ u ∂ z = x y e x z + ∂ a ∂ z

Comparando com a equação (3), temos que

∂ a ∂ z = 0

Então a é constante e igual a C.

Onde C é a constante de integração final.

Substituindo na expressão de u

u = y e x z + C

Por final, temos

w = ∫ C f → ⋅ d r →   = u - 2 , - 1 , 0 - u - 1 , - 2 , 0

= ( - 1 × e - 2 × 0 + C ) - ( ( - 2 ) × e - 1 × 0 + C )

= - 1 + C + 2 - C

= 1

Como o campo é conservativos, então não interfere o caminho.

Resposta

1; igual

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