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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 48b

Usando a definição, verificar que as funções dadas são diferenciáveis em R 2 :

b) f x , y = 2 x y

Passo 1

Temos que as derivadas parciais são:

∂ f ∂ x = 4 y   e ∂ f ∂ y = 2 x

Pela definição temos:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ f x , y - f x 0 , y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y - y 0 x - x 0 2 + y - y 0 2

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ 2 x y - 2 x 0 y 0 + 2 y 0 x - x 0 + 2 x 0 y - y 0 x - x 0 2 + y - y 0 2

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ 2 x y - 2 x 0 y 0 - 2 y 0 x + 2 y 0 x 0 - 2 x 0 y + 2 x 0 y 0 x - x 0 2 + y - y 0 2

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ 2 x y - 2 y 0 x + 2 y 0 x 0 - 2 x 0 y x - x 0 2 + y - y 0 2

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ 2 ( x - x 0 ) ( y - y 0 ) x - x 0 2 + y - y 0 2 = 0

Desse modo, concluímos que f é diferenciável em R 2 .

Resposta

f é diferenciável em R 2

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1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3
1. Verifique que a função dada é diferenciável.e) f x , y = x c o s x 2 + y 2
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização L ( x , y ) da função no ponto. f x , y = e x cos ⁡ x y ,( 0,0 )