Usando a definição, verificar que as funções dadas são diferenciáveis em R^2 :

b) f(x, y) = 2xy

Passo 1

Temos que as derivadas parciais são:

∂ f ∂ x = 4 y   e ∂ f ∂ y = 2 x

Pela definição temos:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ f x , y - f x 0 , y 0 + ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y - y 0 x - x 0 2 + y - y 0 2

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ 2 x y - 2 x 0 y 0 + 2 y 0 x - x 0 + 2 x 0 y - y 0 x - x 0 2 + y - y 0 2

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ 2 x y - 2 x 0 y 0 - 2 y 0 x + 2 y 0 x 0 - 2 x 0 y + 2 x 0 y 0 x - x 0 2 + y - y 0 2

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ 2 x y - 2 y 0 x + 2 y 0 x 0 - 2 x 0 y x - x 0 2 + y - y 0 2

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ 2 ( x - x 0 ) ( y - y 0 ) x - x 0 2 + y - y 0 2 = 0

Desse modo, concluímos que f é diferenciável em R 2 .

Resposta

f é diferenciável em R 2

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Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização L(x, y) da função no ponto.f(x, y) = e^x * cos(xy), (0, 0)