Enunciado

Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .

5-

F x , y = x e y   i + y e x j

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos analisar o que o enunciado está pedindo.

Ele quer que a gente diga se o campo

F x , y = x e y   i + y e x j

Pode ser classificado como um campo vetorial conservativo ou não conservativo.

E se ele for conservativo, encontrar uma função f que satisfaça

F = ∇ f

Esse significa gradiente! O campo F tem que ser igual ao gradiente de f !

Para saber se um campo é conservativo, devemos seguir essa definição:

F = P i + Q j

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Deixa eu explicar!

No campo F , P será tudo que acompanha o i e Q será tudo que acompanha o j .

Então, derivamos P em relação à y e Q em relação à x .

Se ambos forem iguais, o campo é conservativo!

Portanto, o que vamos fazer é calcular as derivadas parciais de F e compara-las. Show?

Passo 2

Vamos ver se o campo é conservativo verificando se a igualdade abaixo é válida:

F = P i + Q j

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Sendo F

F x , y = x e y   i + y e x j

Temos que:

P =   x e y  

E

Q = y e x

Derivando P em relação à y e mantendo x uma constante:

∂   x e y ∂ y =   x e y

Derivando Q em relação à x e mantendo y uma constante:

∂ y e x ∂ x = y e x

Comparando os resultados:

x e y = y e x

O que nos diz que

∂ P ∂ y ≠ ∂ Q ∂ x

Logo, o campo não é conservativo. Então, não precisamos achar

F = ∇ f

Tranquilo?

Resposta

Campo não conservativo.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .9- F x , y = y e x + s e ny i + ( e x + x cos ⁡ y ) j
Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .6- F x , y = e y i + x e y j
Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .7- F x , y = 2 x c o sy - y cos ⁡ x i + - x 2 s e ny - s e nx j
Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .8- F x , y = 1 + 2 x y + ln ⁡ x i + x 2 j
Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .3- F x , y = 6 x + 5 y i + 5 x + 4 y j