Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 5
Determine se é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função tal que .
5-
Passo 1
Olá, tudo bem?
Vamos analisar o que o enunciado está pedindo.
Ele quer que a gente diga se o campo
Pode ser classificado como um campo vetorial conservativo ou não conservativo.
E se ele for conservativo, encontrar uma função que satisfaça
Esse significa gradiente! O campo tem que ser igual ao gradiente de !
Para saber se um campo é conservativo, devemos seguir essa definição:
Deixa eu explicar!
No campo , será tudo que acompanha o e será tudo que acompanha o .
Então, derivamos em relação à e em relação à .
Se ambos forem iguais, o campo é conservativo!
Portanto, o que vamos fazer é calcular as derivadas parciais de e compara-las. Show?
Passo 2
Vamos ver se o campo é conservativo verificando se a igualdade abaixo é válida:
Sendo
Temos que:
E
Derivando em relação à e mantendo uma constante:
Derivando em relação à e mantendo uma constante:
Comparando os resultados:
O que nos diz que
Logo, o campo não é conservativo. Então, não precisamos achar
Tranquilo?
Resposta
Campo não conservativo.