Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 5
Determine se é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função tal que .
Passo 1
Fala, gente bonita! Tudo show?
A questão nos deu
E quer saber da gente se é conservativo ou não. E que bomba quer dizer isso? Um campo é conservativo quando as derivadas mistas das componentes são iguais, ou seja:
Para ser conservativo:
Depois, se o campo for conservativo, determinar uma função tal que .
Passo 2
Vamos lá?
Nossa função é:
Encontrando as derivadas parciais de cada termo:
Epa! Então
Como as derivadas parciais deram iguais, então podemos concluir que é conservativo!
Agora que determinamos isso, precisamos determinar uma função potencial para , mas como fazemos isso?
Vamos pegar qualquer uma das componentes de e integrar em relação à sua variável.
Se liga:
O resultado disso será:
Espera aí, da onde saiu essa função ?
Quando realizamos uma integração indefinida surge uma constante, não é?
Como nossa função é uma função apenas de , quando derivarmos-a aquela desaparece, então ela funciona como uma constante!
Agora o que temos que fazer é determinar quem é essa função, então bora lá!
Passo 3
O que precisamos fazer agora é derivar a função potencial que encontramos em relação à (mas você pode derivar em relação a também, já que tem o mesmo resultado, como vimos acima). Então se liga:
De acordo com o passo 1, temos que a componente do campo dado é:
Igualando as equações, teremos que:
Sendo assim, temos que:
Substituindo em :
E está aí a função que queríamos!
Resposta
Conservativo.