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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 2

Quais campos nos Exercícios 1-6 são conservativos e quais não são?

F = ( y s e n ⁡ z ) i + ( x s e n ⁡ z ) j + ( x y c o s ⁡ z ) k

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Sabemos que, de acordo com o teste das componentes para campos conservativos da página 386 do livro, F → = M ( x , y , z ) i → + N ( x , y , z ) j → + P ( x , y , z ) k → , é um campo vetorial cujos componentes possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Então F → será conservativo se, e somente se for:

∂ P ∂ y = ∂ N ∂ z , ∂ M ∂ z = ∂ P ∂ x , ∂ N ∂ x = ∂ M ∂ y

Passo 2

Aplique o teste das componentes para campos conservativos em:Sendo F → = ( y s e n ⁡ z ) i → + ( x s e n ⁡ z ) j → + ( x y c o s ⁡ z ) k → , temos que:

M ( x , y , z ) = y s e n ⁡ z , ∂ M ∂ z = y c o s ⁡ z , ∂ M ∂ y = s e n ⁡ z N ( x , y , z ) = x s e n ⁡ z , ∂ N ∂ z = x c o s ⁡ z , ∂ N ∂ x = s e n ⁡ z P ( x , y , z ) = x y c o s ⁡ z , ∂ P ∂ y = x c o s ⁡ z , ∂ P ∂ x = y c o s ⁡ z  Logo:  ∂ P ∂ y = ∂ N ∂ z , ∂ M ∂ z = ∂ P ∂ x , ∂ N ∂ x = ∂ M ∂ y

Resposta

Assim, finalizamos essa solução: F → = ( y s e n ⁡ z ) i → + ( x s e n ⁡ z ) j → + ( x y c o s ⁡ z ) k → é conservativo.

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