Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 19e
Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.
e)
Passo 1
Pelo teorema , se , podemos afirmar que o campo é conservativo, e que admite uma função potencial . Vamos então calcular para verificar polo teorema se o campo é conservativo.
Então basta fazermos o seguinte:
Podemos observar que , portanto o campo vetorial é conservativo em , e admite uma função potencial .
Passo 2
Agora vamos então encontrar o a função potencial do campo vetorial conservativo. Para isso temos que resolver o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Usamos a primeira equação e a integramos em função de , assim temos:
Agora derivamos a encontrada em função de e comparamos com a segunda equação.
Comparando com a segunda equação temos:
Podemos perceber que só depende de , assim temos:
Temos que
Agora derivamos a encontrada em função de e comparamos com a terceira equação.
Comparando com a terceira equação temos:
Podemos perceber que não depende de , assim temos:
Assim temos que a função potencia é :
Resposta
Campo vetorial conservativo em , admite uma função potencial .