Encontrar uma função potencial para o campo f → , no domínio especificado:

c) f(x, y, z) = (y * e^z, x * e^z, x * y * e^z) em R^3 .

Passo 1

Queremos encontrar o a função potencial do campo vetorial conservativo. Para isso temos que resolver o seguinte sistema de equações:

∂ f ∂ x = y e z ∂ f ∂ y = x e z ∂ f ∂ z = x y e z

Passo 2

Usamos a primeira equação e a integramos em função de x , assim temos:

∂ f = y e z ∂ x

f = ∫ y e z d x + a y , z

f = x y e z + a y , z

Agora derivamos a f encontrada em função de y e comparamos com a segunda equação.

∂ f ∂ y = x e z + d a d y

Comparando com a segunda equação temos:

x e z + d a d y = x e z

d a d y = 0

Podemos perceber que a ( y , z ) só depende de z , assim temos:

a = b z

Temos que f x ,   y ,   z = x y e z + b z

Agora derivamos a f encontrada em função de z e comparamos com a terceira equação.

∂ f ∂ z = x y e z + d b d z

Comparando com a terceira equação temos:

x y e z + d b d z = x y e z

d b d z = 0

Podemos perceber que b z não depende de z , assim temos:

b = c

Assim temos que a função potencia f x , y , z é :

f x , y , z = x y e z + c

Resposta

f x , y , z = x y e z + c

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