Encontrar uma função potencial para o campo f → , no domínio especificado:b) f → x ,y ,z = 2 x x 2 + y 2 + z 2 i → + 2 y x 2 + y 2 + z 2 j → + 2 z x 2 + y 2 + z 2 k → em qualquer domínio simplesmente conexo que não contém a origem.

f x , y , z = ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + c

Enunciado

Queremos encontrar o a função potencial do campo vetorial conservativo. Para isso temos que resolver o seguinte sistema de equações:

Usamos a primeira equação e a integramos em função de , assim temos:

Podemos resolver a integral por substituição simples:

Logo

Substituindo na integral temos:

Agora voltamos com a substituição. Assim temos:

Agora derivamos a encontrada em função de e comparamos com a segunda equação.

Comparando com a segunda equação temos:

Podemos perceber que só depende de , assim temos:

Temos que

Agora derivamos a encontrada em função de e comparamos com a terceira equação.

Comparando com a terceira equação temos:

Podemos perceber que não depende de , assim temos:

Assim temos que a função potencia é :