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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 30

Quais dos campos nos Exercícios 29-32 são conservativos e quais não são?

30. F = x i + y j + z k x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Neste caso podemos usar o Teste de Componentes para Campos Conservativos. Vamos considerar isso

M = x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

N = y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

P = z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Calculando as derivadas parciais, nós temos que

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y z x 2 + y 2 + z 2 3 2 = z - 3 2 2 y x 2 + y 2 + z 2 - 5 2 = - 3 y z x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

∂ N ∂ z = ∂ ∂ z y x 2 + y 2 + z 2 3 2 = y - 3 2 2 z x 2 + y 2 + z 2 - 5 2 = - 3 y z x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

Temos que ∂ P ∂ y = ∂ N ∂ z , de forma análoga

∂ M ∂ z = ∂ ∂ z x x 2 + y 2 + z 2 3 2 = - 3 x z x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

∂ P ∂ x = ∂ ∂ x z x 2 + y 2 + z 2 3 2 = - 3 x z x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x y x 2 + y 2 + z 2 3 2 = - 3 x y x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y x x 2 + y 2 + z 2 3 2 = - 3 x y x 2 + y 2 + z 2 5 / 2

Passo 2

Tendo em conta que

∂ P ∂ y = ∂ N ∂ z ,     ∂ M ∂ z = ∂ P ∂ x   e   ∂ N ∂ x = ∂ M ∂ y

podemos dizer que F é um corpo conservativo.

Resposta

Respondido acima!!!

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