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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.2 - Ex. 4

Encontre os campos gradientes das funções nos Exercícios 1-4

g ( x , y , z ) = x y + y z + x z

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

De acordo com a definição da página 371 o campo gradiente de uma função derivável g ( x , y , z ) é um campo de vetores gradiente ∇ → f = ∂ g ∂ x i → + ∂ g ∂ y j → + ∂ g ∂ z k →

Passo 2

Se g ( x , y , z ) = x y + y z + x z , para encontrarmos o campo de vetores gradiente de g ( x , y , z ) devemos encontrar as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis.Comecemos por derivar em relação a x :

∂ g ( x , y , z ) ∂ x = ∂ [ x y + y z + x z ] ∂ x = y + z

Em relação a y , será:

∂ g ( x , y , z ) ∂ y = ∂ [ x y + y z + x z ] ∂ y = x + z

Em relação a z , será:

∂ g ( x , y , z ) ∂ z = ∂ [ x y + y z + x z ] ∂ z = y + x

Passo 3

Substituindo os resultados na expressão ∇ → f = ∂ g ∂ x i → + ∂ g ∂ y j → + ∂ g ∂ z k → , temos então o resultado da questão que é:

∇ → g = ∂ g ∂ x i → + ∂ g ∂ y j → + ∂ g ∂ z k → = ( y + z ) i → + ( x + z ) j → + ( x + y ) k →

Resposta

Resposta nos passos.

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