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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.2 - Ex. 6

Dê uma fórmula F = M(x, y)i + N(x, y)j para o campo vetorial

no plano que tem as seguintes propriedades: F = 0 em (0, 0) e

em qualquer outro ponto (a, b), F é tangente à circunferência

x2 + y2 = a2 + b2 e aponta no sentido horário com magnitude

ƒ F ƒ = 2a2 + b 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Precisamos encontrar um campo vetorial F → = M ( x , y ) i → + N ( x , y ) j → que tem a propriedade de ser nulo na origem ( 0,0 ) e em qualquer outro ponto ( a , b ) tangente a circunferência x 2 + y 2 = a 2 + b 2 apontando no sentido horário e com módulo | F ‾ | = a 2 + b 2 .

Passo 2

Do enunciado sabemos que F → = M ( x , y ) i → + N ( x , y ) j → em θ = 0 tem módulo | F → | = a 2 + b 2 e deve ter a mesma direção e sentido do versor - j → ⋅ Assim F → = - N ( x , y ) j → = - a 2 + b 2 j →

Passo 3

Na sequência você deverá calcular:Em θ = - π 2 o vetor F → = M ( x , y ) i → + N ( x , y ) j → tem módulo | F → | = a 2 + b 2 e deve ter a mesma direção e sentido do versor - i → ⋅ Assim F → = M ( x , y ) i → = - a 2 + b 2 i →

Em θ = - π o vetor F → = M ( x , y ) i → + N ( x , y ) j → tem módulo | F → | = a 2 + b 2 e deve ter a mesma direção e sentido do versor j → ⋅ A s s i m ⁡ F → = a 2 + b 2 j →

Em θ = - 3 π 2 o vetor F → = M ( x , y ) i → + N ( x , y ) j → tem módulo | F → | = a 2 + b 2 e deve ter a mesma direção e sentido do versor i → ⋅ Assim F → = M ( x , y ) i → = a 2 + b 2 i → .Assim, concluímos que M ( x , y ) = a 2 + b 2 s e n ⁡ θ e N ( x , y ) = a 2 + b 2 c o s ⁡ θ .

Passo 4

Com isso finalizamos, substituindo em F → = M ( x , y ) i → + N ( x , y ) j → e encontramos o resultado que será:

F → = a 2 + b 2 s e n ⁡ θ i → - a 2 + b 2 c o s ⁡ θ j →  para  - 2 π ≤ θ ≤ 0

Resposta

Resposta nos passos.

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O campo vetorial é conservativo? Explique.