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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 39

Circulação ao redor de uma elipse - F = y 2 i - y j + 3 z 2 k C: A elipse na qual o plano 2 x + 6 y - 3 z = 6 encontra o cilindro x 2 + y 2 = 1 , em sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Neste caso podemos parametrizar a superfície do cilindro usando coordenadas cilíndricas,

r c i l z , θ = cos ⁡ θ i + sen ⁡ θ j + z k

Onde 0 ≤ θ ≤ 2 π e r = 1 , uma vez que

x 2 + y 2 = cos 2 ⁡ θ + se n 2 ⁡ θ

Para o plano, nós temos que

3 z = 2 x + 6 y - 6 → z = 2 3 x + 2 y - 2

Com isso,

z = 2 3 cos ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ - 2

Portanto, a curva delimitada pelas interseções do plano e do cilindro pode ser parametrizada como

r θ = cos ⁡ θ i + sen ⁡ θ + 2 3 cos ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ - 2 k

Nós podemos escrever que

F r θ = y 2 θ i - y θ j + 3 z θ k

Desenvolvendo os termos

F r θ = sen 2 ⁡ θ - sen ⁡ θ j + 3 2 3 cos ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ - 2 2 k

Logo, temos que

F r θ = sen 2 ⁡ θ - sen ⁡ θ j

Por outro lado,

d r = d r d θ d θ = - sen ⁡ θ i + cos ⁡ θ j + - 2 3 sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ k d θ

Passo 2

Para a fórmula, nós temos que

F ∙ d r = - sen 3 ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 3 2 3 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ - 2 2 - 2 3 sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ d θ

e a circulação em torno do resultado da curva

∮ F ∙ d r = ∫ 0 2 π - sen 3 ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 3 2 3 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ - 2 2 - 2 3 sen ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ d θ

Separando as integrais

∮ F ∙ d r = ∫ 0 2 π - sen 3 ⁡ θ d θ - 1 2 ∫ 0 2 π sen ⁡ 2 θ d θ + 3 ∫ 0 2 π 2 3 cos ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ - 2 2 d 2 3 cos ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ - 2

Que tem como resultado

∮ F ∙ d r = - 0 - 1 2 0 + 3 1 3 2 3 cos ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ - 2 3 0 2 π

Portanto,

∮ F ∙ d r = 0

Resposta

∮ F ∙ d r = 0

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