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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 59

Um cano com diâmetro desprezível deve ser carregado horizontalmente em torno de um canto ligando duas passagens com 2,40   m e 1,20   m de largura (Figura Ex-59). Qual é o comprimento máximo que o cano pode ter?

Passo 1

Então pessoal, esboçando a situação que temos:

Aqui vale ressaltar que aquela raíz quadrada sai do Teorema de Pitágoras do triângulo retângulo inferior, tudo bem? Por semelhança de triângulo, tiramos:

y 2,4 = x x 2 - 1,44

y = 2,4 x x 2 - 1,44

Além disso, temos que x + y é o comprimento do cano, que vamos chamar de L . Logo:

L = x + y

L x = x + 2,4 x x 2 - 1,44

Então encontramos uma expressão para o tamanho do cano, show!

Passo 2

Como queremos o comprimento MÁXIMO, então devemos utilizar os conceitos de cálculo que aprendemos, certo? Sendo assim, derivando nossa função:

d L d x = 1 + 2,4 x 2 - 1,44 - 2,4 x 1 2 x 2 - 1,44 - 1 2 . 2 x x 2 - 1,44

d L d x = 1 + 2,4 x 2 - 1,44 - 2,4 x 2 x 2 - 1,44 x 2 - 1,44 = 1 + 2,4 x 2 - 3,456 - 2,4 x 2 x 2 - 1,44 3 2

d L d x = 1 - 3,456 x 2 - 1,44 3 2

Agora igualando a zero:

1 - 3,456 x 2 - 1,44 3 2 = 0

x 2 - 1,44 3 2 = 3,456

x 2 = 3,72585

∴ x ≈ + 1 , 93

Então esse é nosso ponto crítico!

Passo 3

Substituindo o ponto crítico que encontramos na nossa função original, teremos:

L x = x + 2,4 x x 2 - 1,44

L 1,93 = 1,93 + 2,4.1,93 1,93 2 - 1,44

∴ L ≈ 4,99   m

E esse é nosso comprimento máximo, galera!

Resposta

L ≈ 4,99   m

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1. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = - ∞ ,+ ∞ .c) A função f tem exatamente dois extremos relativos no intervalo I e f x → + ∞ quando x → +
1. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = - ∞ ,+ ∞ .d) A função f tem exatamente dois extremos relativos no intervalo I e f x → - ∞ quando x → +
2. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = - ∞ ,+ ∞ .a) f tem exatamente um extremo relativo em I e f x → 0 quando x → + ∞ e x → - ∞ .
1. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = - ∞ ,+ ∞ .b) f é côncava para cima no intervalo I e não tem extremos relativos.
3. a) Use os testes da derivada primeira e da derivada segunda para mostrar que f x = 3 x 2 - 6 x + 1 tem um mínimo relativo em x = 1 .