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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.6 - Ex. 18

Centro de massa, momento de inercia: encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação ao eixo x de uma placa retangular fina delimitada pelas retas x = 0 ,     x = 20   ,     y = - 1 e y = 1 se δ x , y = 1 + x 20 .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Seguinte, cara... Já temos dados os limites de x e y e a densidade, com isso temos o que é necessário opara podemos calcular tanto o centro de massa quanto o momento de inercia:

Passo 2

Assim, calculemos a massa:

M = ∬ δ x , y d x d y

M = ∫ 0 20 ∫ - 1 1 1 + x 20 d y d x

M = ∫ 0 20 ( y - 1 1 + x 20 y - 1 1 )

M = ∫ 0 20 2 + x 10 d x

M = 2 x 0 20 + 1 20 x 2 0 20  

M = 60

Agora calculemos o centro de massa em relação ao eixo x M x :

M x = ∫ 0 20 ∫ - 1 1 y 1 + x 20 d y d x

∫ 0 20 1 2 y 2 - 1 1 + x 40 y 2 - 1 1 d x

M x = 0

Para o centro de massa em relação ao eixo y M y :

M y = ∫ 0 20 ∫ - 1 1 x 1 + x 20 d y   d x

∫ 0 20 x y - 1 1 + x 2 20 y - 1 1 d x

∫ 0 20 2 x + x 2 10 d x

x 2 0 20 + 1 30 x 3 0 20 = 2000 3

M y = 2000 3

Assim, sabendo que:

x c m = M y M

y c m = M x M

Temos que:

y c m = 0

x c m = 100 9

Passo 3

Para os momentos de inercia, temos em relação ao eixo x I x :

I x = ∫ 0 20 ∫ - 1 1 y 2 1 + x 20 d y d x

∫ 0 20 1 3 y 3 - 1 1 + x 60 y 3 - 1 1 d x

∫ 0 20 2 3 + x 30 d x

2 3 x 0 20 + 1 60 x 2 0 20

I x = 20

Resposta

y c m = 0

x c m = 100 9

E

I x = 20

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