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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.6 - Ex. 10

Primeiro momento de uma placa infinita: encontre o primeiro momento de inercia em relação ao eixo y de uma placa fina de densidade δ x , y = 1   que cobre a rgião infinita sob a curva y = e - x 2 2 no primeiro quadrante.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

É nos dado pelo enunciado que:

x ∈ 0 , ∞

y ∈ 0 , e - x 2 2

E o momento é dado por:

M y = ∬ δ x , y d y   x   d x

Passo 2

M y = ∫ 0 ∞ ∫ 0 e - x 2 2 x   d y   d x

∫ 0 ∞ x y 0 e - x 2 2     d x

∫ 0 ∞ x e - x 2 2     d x

Passo 3

Façamos u = - x 2 2 logo d u = - x   d x , quando x = 0 ,   u = 0 e quando x = ∞ ,   u = - ∞

- ∫ 0 - ∞ e u d u

- lim b → - ∞ ⁡ e u 0 b

- - 1 + lim b → - ∞ ⁡ e u

M y = 1

Resposta

M y = 1

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