Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 41
Encontre o centro de massa do sólido com a dada função de densidade .
é o cubo dado por , , ;
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo tranquilo?
Nesse exercício, iremos analisar o sólido que é delimitado pelo cubo descrito por:
com função densidade
A questão pede para encontrarmos o centro de massa desse sólido . O centro de massa está localizando no ponto , onde:
Onde é a massa do sólido dada por:
E são os momentos em relação aos planos, que são calculados por:
Percebe que também falta acharmos os limites de integração das nossas integrais triplas. Como a função que estamos integrando está em relação a 3 variáveis , temos que achar os limites de integração para cada uma delas. Para achar esses limites vamos achar a projeção do nosso sólido no plano e seu comportamento em relação ao eixo .
Em resumo, precisaremos achar a massa e cada um dos momentos , para assim acharmos a localização do centro de massa.
Bora!
Passo 2
Começaremos o exercício descobrindo a massa do sólido, sendo assim:
Nesse caso, os limites de integração de cada variável já são dados diretamente
Nossa função densidade foi dada no enunciado:
Dessa forma, podemos escrever a integral da massa como:
Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por , que é a integral “de dentro”, tratando as demais variáveis como constantes. Então, temos o seguinte resultado:
Aplicando nossos limites de integração em :
Simplificando a expressão, temos:
Passo 3
Agora iremos integrar em função de , tratando as demais variáveis como constantes. Temos como resultado:
Aplicando os limites de integração em :
E, simplificando a expressão, temos:
Agora iremos integrar em relação a :
Aplicando os limites de integração:
Dessa forma, a massa é:
Passo 4
Para calcular a posição do centro de massa do sólido, iremos calcular os momentos de massa do solido com relação aos 3 eixos. Começaremos com relação ao eixo :
Dessa forma, podemos escrever a integral como:
Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por e tratando as demais variáveis como constante:
Aplicando os limites de integração em :
Simplificando a expressão, temos:
Agora iremos integrar em função de , tratando as outras variáveis como constantes:
Aplicando os limites de integração em :
E, simplificando a expressão, temos:
Agora iremos integrar em relação a :
Aplicando os limites de integração em :
Dessa forma, nosso momento em é:
Como o sólido dado no enunciado é um cubo, devido a sua simetria e a simetria da função densidade , sabemos que os momentos de massa serão os mesmos para todos os eixos, sendo assim:
Passo 5
Agora que temos as informações que precisávamos, vamos calcular nosso centro de massa:
Substituindo nossos valores, teremos:
Realizamos a divisão de fração e temos que o centro de massa do sistema é dado por: