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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.7 - Ex. 39

Determine a massa e o centro de massa do sólido E com função densidade dada ρ .

E é o sólido do Exercício 13; ρ x , y , z = 2 .

Que está abaixo do plano

z = 1 + x + y

E acima do plano x y limitada pelas curvas y = x , y = 0 e x = 1 .

Passo 1

Vamos lá galera! Tudo certo? Precisamos encontrar a massa de um sólido que está abaixo do plano

z = 1 + x + y

E acima do plano x y limitada pelas curvas y = x , y = 0 e x = 1 .

Para isso precisamos utilizar a seguinte integral:

m = ∭ E ρ x , y , z d V

E para encontrar o centro de massa:

r - = ∭ E r ρ x , y , z d V m

Sendo o r a coordenada. Pois deve ser nas três direções. x , y e z .

Passo 2

O sólido do Exercício 13 está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima do plano x y limitada pelas curvas y = x , y = 0 e x = 1 .

Vamos recordar os tipos de integrais triplas? Se a integral será resolvida acima do plano x y então temos uma integral do tipo I. Se temos um volume entre o plano y x e a função f então temos uma integral do tipo II. Há ainda a integral do tipo III que se refere ao plano z y .

Isto nos dá uma integral tripla do tipo I, com os seguintes limites de integração:

0 ≤ z ≤ 1 + x + y

0 ≤ y ≤ x

0 ≤ x ≤ 1

Se queremos determinar a massa do nosso sólido, precisamos calcular a seguinte integral.

m = ∭ E ρ x , y , z d V

Já se queremos determinar as coordenadas x - , y - , z - do centro de massa, precisamos determinar:

x - = ∭ E x ρ x , y , z d V m

y - = ∭ E y ρ x , y , z d V m

z - = ∭ E z ρ x , y , z d V m

Passo 3

Vamos começar determinando a massa do nosso sólido. Portanto,

m = ∫ 0 1 ∫ 0 x ∫ 0 1 + x + y 2   d z d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ⋅ 1 + x + y d y d x

∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ⋅ 1 + x + y d y d x = ∫ 0 1 2 ⋅ y + x y + y 2 2 0 x d x

Aplicando os limites de integração e simplificando.

∫ 0 1 2 ⋅ ( x + x 3 / 2 + x 2 ) d x

Resolvendo a integral e aplicando os limites de integração.

2 ⋅ 2 3 x 3 2 + 2 5 x 5 2 + x 2 4 0 1 = 2 ⋅ 2 3 + 2 5 + 1 4

m = 79 30

Passo 4

Vamos calcular cada uma das coordenadas do centro de massa. Começando pela coordenada x - (calculando a integral do numerador), temos:

∫ 0 1 ∫ 0 x ∫ 0 1 + x + y 2 x   d z d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 x ⋅ 1 + x + y d y d x

Resolvendo a integral:

∫ 0 1 2 x ⋅ y + x y + y 2 2 0 x d x

Aplicando os limites √ x e 0 .

∫ 0 1 2 ⋅ x 3 / 2 + x 5 / 2 + x 2 2 d x

Resolvendo a integral, aplicando os limites de integração e resolvendo a álgebra.

2 ⋅ 2 5 x 5 2 + 2 7 x 7 2 + x 3 6 0 1 = 179 105

Logo,

x - = ∭ E x ρ x , y , z d V m = 179 105 79 30 = 358 553

Passo 5

Já para a coordenada y - , temos:

∫ 0 1 ∫ 0 x ∫ 0 1 + x + y 2 y   d z d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ⋅ y + x y + y 2 d y d x

Resolvendo a integral:

∫ 0 1 2 ⋅ y 2 2 + x y 2 2 + y 3 3 0 x d x

Aplicando os limites √ x e 0 .

∫ 0 1 2 ⋅ x 2 + x 2 2 + x 3 / 2 3 d x

Resolvendo a integral, aplicando os limites de integração e resolvendo.

2 ⋅ x 2 4 + x 3 6 + 2 x 5 2 15 0 1 = 33 30

Logo,

y - = ∭ E y ρ x , y , z d V m = 33 30 79 30 = 33 79

Passo 6

Por fim, para a coordenada z , temos:

∫ 0 1 ∫ 0 x ∫ 0 1 + x + y z   d z d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 x 1 + x + y 2 d y d x

Fazendo:

1 + x + y ∙   1 + x + y = ( 1 + 2 x + 2 y + 2 x y + x 2 + y 2 )

Temos:

∫ 0 1 ∫ 0 x ( 1 + 2 x + 2 y + 2 x y + x 2 + y 2 ) d y d x

Resolvendo a integral:

∫ 0 1 y + 2 x y + y 2 + x y 2 + x 2 y + y 3 3 0 x d x

Aplicando os limites em y

∫ 0 1 x 1 / 2 + 2 x 3 / 2 + x + x 2 + x 5 / 2 + x 3 / 2 3 d x

Integrando e resolvendo:

2 3 x 3 2 + 4 5 x 5 2 + x 2 2 + x 3 3 + 2 7 x 7 2 + 2 15 x 5 2 0 1 = 571 210

Logo,

z - = ∭ E z ρ x , y , z d V m = 571 553

Resposta

Massa:

m = 79 30

Centro de massa:

358 553 , 33 79 , 571 553

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