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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.6 - Ex. 20

Centro de massa e momento de inercia: repita o exercício 19 para δ x , y = 3 x 2 + 1

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

No exercício 19 encontramos que que x ∈ [ - y , y ] e que y ∈ [ 0,1 ]

E sabemos que:

I x = ∬ y 2 δ   d x d y

I y = ∬ x 2 δ   d x d y

E o momento de inércia polar é dado por:

I 0 = ∬ r 2 δ   d x   d y

Onde r 2 = x 2 + y 2 ,   assim podemos concluir:

I 0 = I x + I y

M = ∬ δ d x d y

M x = ∬ y   δ   d x   d y M

M y = ∬ x   δ d x   d y M

Passo 2

Para M:

M = ∫ 0 1 ∫ - y y 3 x 2 + 1 d x   d y

∫ 0 1   x 3 - y y + x - y y d y

2 ∫ 0 1 x 3 + x d x

2 1 4 x 4 0 1 + 1 2 x 0 1

M = 3 2

Para M x :

M x = ∫ 0 1 ∫ - y y y 3 x 2 + 1 d x   d y  

∫ 0 1 y x 3 - y y + y x - y y d y

2 ∫ 0 1 ( y 4 + y 2 )   d y

2 1 5 y 5 0 1 + 1 3 y 2 0 1

M x = 16 15

E para M y :

M y = ∫ 0 1 ∫ - y y x 3 x 2 + 1 d x   d y

∫ 0 1 3 4 x 4 - y y + 1 2 x 2 - y y d y  

M y = 0

Logo temos, como dito anteriormente:

x c e n t = M y M = 0

y c e n t = 16 15 3 2 = 32 45

Passo 3

Para I x :

I x = ∫ 0 1 ∫ - y y y 2 3 x 2 + 1 d x   d y  

∫ 0 1 y 2 ( x 3 - y y + x - y y )   d y

2 ∫ 0 1 y 5 + y 3 d y

2 1 6 y 6 0 1 + 1 4 y 0 1

I x = 5 6

Para I y :

I y = ∫ 0 1 ∫ - y y x 2 3 x 2 + 1 d x   d y

∫ 0 1 3 5 x 5 - y y + 1 3 x 3 - y y d y

∫ 0 1 6 5 y 5 + 2 3 y 3 d y  

1 5 y 6 0 1 + 1 6 y 4 0 1

I y = 11 30

E temos então:

I 0 = I y + I x = 11 3 0 + 5 6

I o = 6 5

E vemos que o momento polar do exercício 19 é igual ao do exercício 20

Resposta

x c e n t = = 0

y c e n t = 32 45

I o = 6 5

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Encontrando um centroide: encontre um centroide da região do primeiro quadrante delimitado pelo eixo x, a parábola y 2 = 2 x e a reta x + y = 4 .
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Centroide de uma região infinita: encontre o centroide de uma região infinita no primeiro quadrante delimitada pelos eixos e pela curva y = e x . (Utilize integrais improprias nas formula de massa)
Encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação ao eixo y de uma placa fina delimitada pela reta y = 1 e a parábola y = x 2 se a densidade for δ x , y = y + 1 .