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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.6 - Ex. 19

Centro de massa, momento de inércia: encontre o centro de massa e o momento de inercia em relação aos eixos coordenados e o momento de inercia polar de uma placa triangular fina delimitada pelas retas x = y ,   y = - x   e y = 1 , se δ x , y = y + 1 .

Passo 1

:, cara! Tranquileba?

Temos dado que x ∈ [ - y , y ] e que y ∈ [ 0,1 ]

E sabemos que:

I x = ∬ y 2 δ   d x d y

I y = ∬ x 2 δ   d x d y

E o momento de inércia polar é dado por:

I 0 = ∬ r 2 δ   d x   d y

Onde r 2 = x 2 + y 2 ,   assim podemos concluir:

I 0 = I x + I y

M = ∬ δ d x d y

M x = ∬ y   δ   d x   d y M

M y = ∬ x   δ d x   d y M

Passo 2

Para M:

M = ∫ 0 1 ∫ - y y y + 1 d x   d y

∫ 0 1 y + 1 x - y y )     d y

∫ 0 1 2 y 2 + 2 y   d y    

2 3 y 3 0 1 + y 2 0 1

M = 5 3

Para M x :

M x = ∫ 0 1 ∫ - y y y y + 1 d x   d y

∫ 0 1 ∫ - y y y 2 + y d x   d y

∫ 0 1 y 2 + y x - y y   d y  

∫ 0 1 ( 2 y 3 + 2 y 2 )   d y

1 2 y 4 0 1 + 2 3 y 3 0 1

M x = 7 6

E para M y :

M y = ∫ 0 1 ∫ - y y x y + 1 d x   d y

∫ 0 1 y 2 x 2 - y y + 1 2 x - y y d y

M y = 0

Logo temos, como dito anteriormente:

x c e n t = M y M = 0

y c e n t = 7 6 5 3 = 7 10

Passo 3

Para I x :

I x = ∫ 0 1 ∫ - y y y 2 y + 1 d x   d y

∫ 0 1 ∫ - y y y 3 + y 2 d x   d y

∫ 0 1 y 3 + y 2 x - y y   d y

∫ 0 1 2 y 4 + 2 y 3 d y  

2 5 y 5 0 1 + 1 2 y 4 0 1

I x = 9 10

E para I y :

I y = ∫ 0 1 ∫ - y y x 2 y + 1 d x   d y

∫ 0 1 y + 1 3 x 3 - y y   d y

1 3 ∫ 0 1 ( 2 y 4 + 2 y 3 )   d y

1 3 2 5 y 5 0 1 + 1 2 y 4 0 1

I y = 1 3

E temos então:

I 0 = I y + I x = 3 10 + 9 10

I o = 6 5

Resposta

x c e n t = 0

y c e n t = 7 10

I 0 = 6 5

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