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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.12 - Ex. 19

Uma cerca de 1   m de altura está situada a uma distância de 1   m da parede lateral de um galpão. Qual o comprimento da menor escada cujas extremidades se apoiam na parede e no chão do lado de fora da cerca?

Passo 1

Incialmente, podemos fazer uma ilustração do que está acontecendo. Supondo uma distância x da extremidade da escada até a parede e uma altura h :

Repare que o triangulo retângulo de catetos x - 1 e 1 é semelhante ao triangulo de catetos x e h . Assim,

x h = x - 1 1

Logo,

h = x x - 1       ( i )

Como queremos minimizar o comprimento da escada então vamos aplicar o Teorema de Pitágoras para achar seu comprimento.

l 2 = x 2 + h 2

Usando a relação i :

l x = x 2 + x x - 1 2

Passo 2

Agora que já temos uma equação para o comprimento da escada vamos minimiza-la. Repare que para minimizar x 2 + x x - 1 2 basta minimizarmos o que está dentro da raiz. Assim,

f x =   x 2 + x x - 1 2

Agora não tem segredo, vamos derivar e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.

f ' x = 2 x + 2 × x x - 1 × x x - 1 '

Pela regra do quociente:

f ' x = 2 x + 2 × x x - 1 × x - 1 - x x - 1 2

Logo,

f ' x = 2 x + 2 × x x - 1 × - 1 x - 1 2

Igualando a zero:

2 x - 2 x x - 1 3 = 0  

Repare que x ≠ 1 , pois o denominador não pode ser zero.

2 x x - 1 3 = 2 x

Como x ≠ 0 :

x - 1 3 = 1

Portanto,

x - 1 = 1 → x = 2   m

Passo 3

Para acharmos o comprimento da escada, basta voltarmos para equação do passo 1:

l x = x 2 + x x - 1 2

Fazendo x = 2 :

l = 2 2 + 2 1 2

Fazendo as contas:

l = 8   m

Resposta

l = 8   m

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