Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura em uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura , onde . Suponha que a bola seja solta de uma altura inicial de metros.

1. Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre. (use o fato de que a bola cai metros em segundos.)
2. Calcule o tempo total que a bola pula.
3. Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade , ela rebaterá com velocidade , onde . Quanto tempo levará para a bola parar?

Começando pela (a):

A bola começa a uma altura e cai até o chão, depois vai subir , e logo após cair essa mesma distancia, vamos considerar o número de vezes que a bola tocou o chão, podemos dizer que, e a distância percorrida antes desse número de quicadas

Para o próximo valor de a bola vai ter caído uma distância e então ela vai subir e assim por diante:

O aparece nos termos, pois ele percorre a mesma distancia na subida e na decida, de forma geral podemos dizer que após quicadas temos:

Continuando nossa letra (a):

Essa é quase uma série geométrica, se somarmos dos dois lados temos

Vemos então que os termos da série são do tipo como o variando de 0 até conforme somamos mais e mais termos:

Isolando a distancia:

Para saber a distancia total percorrida, basta aplicar , quando isso acontece sabemos que a série geométrica converge para , se , neste caso temos e , então a distancia total é igual a

Fazendo MMC para subtrair as frações e tornar uma só:

Simplificando, temos:

Colocando em evidencia:

Pronto! Encontramos a soma e finalizamos a letra (a).

Vamos agora para a letra (b):

No enunciado do item (a) ele fala que a bola cai metros em segundos. Como calculamos a distancia total, podemos usar essa informação para calcular o tempo:

Isolando o , já que o tempo é nossa incógnita:

Aplicando a raiz dos dois lados para elimarmos o expoente de :

Substituindo que já achamos na letra (a):

Assim finalizamos nossa letra (b).

Por fim, temos nossa letra (c):

Para este item ele fala que sempre que a bola chega ao chão a uma velocidade , ele volta a subir com uma velocidade , como a questão não nos fornece a resistência do ar, podemos considera-la nula, então a bola retorna ao chão com velocidade e volta a subir com velocidade e assim sucessivamente. Pensa comigo, se isso acontecer a bola sempre vai subir com uma velocidade, por mais pequena que ela seja, ela sempre vai estar quicando, e a bola só vai parar quando .