Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 76
Encontre o valor de tal que
Passo 1
Fala aí, beleza?! Essa questão pede para calcularmos o valor de onde o somatório do enunciado é igual a . Vamos precisar fazer duas coisas para encontrar o valor de :
- Reconhecer a expressão do enunciado como uma série geométrica.
- Como temos o valor do somatório que é 10, vamos utilizar a soma de série geométrica para encontrar o valor de .
Então vamos lá?!
Passo 2
Primeiramente temos que a série
É uma série geométrica com e .
Para uma série geométrica, sabemos que a soma dos termos é calculável usando a fórmula
desde que. Isso garante que a série converge para um valor finito. Portanto a série tem um valor calculável se . Assim, aplicamos essa fórmula à série geométrica com e , o que nos dá
Assim,
Beleza?!
Passo 3
Se sabemos o valor da série em função de , basta igualar a
Assim,
Fazendo a distributiva, temos
Subtraindo dos dois lados
Invertendo os lados e dividindo por
Para isolarmos o vamos aplicar o logaritmo natural, que é a função inversa da exponencial
Finalmente
Show de bola?!