Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 42
Encontre os valores de para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de .
Passo 1
Este é um caso de uma quase série geométrica, para que seja geométrica tem que estar na forma
Para isso basta que manipulemos um pouco. O interessante é que para essas séries nós sabemos que elas só convergem para e que se convergir, sua soma é
Pronto, já temos tudo que precisamos pra resolver a questão.
Passo 2
Primeiramente para que esta seja uma série geométrica, vamos tirar um termo do parênteses para diminuirmos do expoente.
Agora temos uma série geométrica.
Passo 3
Sabemos que para uma série geométrica convergir, e para este caso , logo
Neste caso teremos que analisar valores onde e , para acharmos o intervalo de convergência.
Para , o que está dentro do módulo é negativo e temos que cancelar o menos, para termos o valor em módulo
Subtraindo dos dois lados
Se multiplicarmos por , temos que inverter o sinal, então
Para
Somando dos dois lados
Portanto o intervalo é , ou .
Passo 4
Então, para esses valores de a soma vale