Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 2.17 - Ex. 59
Uma certa substância radioativa decai exponencialmente sendo que, após anos, ainda restam da quantidade inicial.
a) Obter o modelo de decaimento exponencial para esta substância.
b) Determinar a sua meia-vida.
c) Determinar o tempo necessário para que reste somente de uma dada massa inicial.
Passo 1
a) Então pessoal, de acordo com o capítulo da Diva, temos que o modelo de decaimento exponencial de uma substância é dado pela seguinte equação:
No qual:
massa presente num instante de tempo qualquer;
massa inicial;
constante qualquer;
tempo.
Passo 2
O enunciado não nos fala nada sobre a meia vida da substância, pessoal, mas ainda sim nos diz que após anos ainda restam da quantidade inicial, sendo assim, podemos escrever a seguinte relação:
Substituindo na expressão do decaimento, obteremos:
Simplificando:
Aplicando em ambos os lados da equação:
Logo, agora que achamos , podemos reescrever nossa equação como:
Passo 3
b) A meia-vida de uma substância é o tempo em que a substância demora para sua quantidade diminuir pela metade, ou seja, para:
Se substituirmos esse valor de na nossa expressão, teremos:
Aplicando em ambos os lados da equação:
O tempo para a massa inicial da substância cair pela metade é, aproximadamente, anos!
Passo 4
c) O que precisamos descobrir aqui é o tempo necessário para que isso ocorra:
Sendo assim, basta substituirmos esse valor de na nossa equaçãozinha e isolar , assim como fizemos nos passos anteriores, saca só:
Aplicando em ambos os lados:
Portanto, a conclusão que chegamos é que otempo necessário para que reste somente de uma dada massa inicial é, aproximadamente, anos.
Resposta
a)
b)
c)