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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 56a

Um circuito elétrico tem uma força eletromotriz de 100 sen ⁡ 200 t volts em t s e um resistor de 10 ohms, além de um indutor de 0,1 henry ligado em série.

  1. Se a corrente for i ampères em t s e i = 0 , quando t = 0 , expresse i como uma função de t .

Passo 1

A equação de um circuito elétrico, de força eletromotriz V , com um resistor de resistência R e um indutor de indutância L conectados em série é a seguinte:

V = L d i d t + R i

Temos então:

100 sen ⁡ 200 t = 0,1 d i d t + 10 i ⇒ d i d t + 100 i = 1000 sen ⁡ 200 t

Devemos resolver essa equação diferencial para encontrar i ( t ) .

Passo 2

A equação diferencial é de primeira ordem, pois está na forma

d i d t + P t i = Q ( t )

Com P t = 100 e Q t = 1000 sen ⁡ 200 t . O fator integrante será e ∫ P t d t = e ∫ 100 d t = e 100 t . Multiplicando os termos da equação por e 100 t , temos:

e 100 t d i d t + 100 e 100 t i = 1000 e 100 t sen ⁡ 200 t

Passo 3

Agora, como sabemos que u v ' = u ' v + u v ' , podemos desenvolver a equação da seguinte forma:

e 100 t d i d t + 100 e 100 t i = e 100 t d i d t + d e 100 t d t = d e 100 t ⋅ i d t = 1000 e 100 t sen ⁡ 200 t  

Então podemos integrar:

∫ d ( e 100 t ⋅ i ) = ∫ 1000 e 100 t sen ⁡ 200 t d t ⇒ i = 1000 e - 100 t ∫ e 100 t sen ⁡ 200 t d t

Passo 4

Para calcular essa integral, usaremos agora uma fórmula muito útil:

∫ e a t sen ⁡ n t = e a t a 2 + n 2 a sen ⁡ n t - n cos ⁡ n t + C

Sendo a = 100 e n = 200 , podemos calcular:

∫ e 100 t sen ⁡ 200 t d t = e 100 t 100 2 + 200 2 100 sen ⁡ 200 t - 200 cos ⁡ 200 t + C

= e 100 t 50000 100 sen ⁡ 200 t - 200 cos ⁡ 200 t + C = e 100 t 500 sen ⁡ 200 t - 2 cos ⁡ 200 t + C

Então achamos o valor de i em função de t :

i t = 1000 e - 100 t ⋅ e 100 t 500 sen ⁡ 200 t - 2 cos ⁡ 200 t + C = 2 sen ⁡ 200 t - 4 cos ⁡ 200 t + C

Do enunciado, i 0 = 0 :

2 sen ⁡ 0 - 4 cos ⁡ 0 + C = 0 ⇒ C = 4 ⇒ i t = 4 + 2 sen ⁡ 200 t - 4 cos ⁡ 200 t

Resposta

i t = 4 + 2 sen ⁡ 200 t - 4 cos ⁡ 200 t

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