Enunciado

Sejam a e b reais quaisquer. Verifique que

a) sen a cos b = (1)/(2) [sen (a + b) + sen (a - b)]

b) cos a cos b = (1)/(2) [cos (a + b) + cos (a - b)]

c) sen a sen b = (1)/(2) [cos (a - b) - cos (a + b)]

Passo 1

a) Temos que o seno da soma é dado por:

sen (a + b) = sen (a) cos (b) + sen (b) cos (a)

E também, o seno da diferença é:

sen (a - b) = sen (a) cos (b) - sen (b) cos (a)

Assim:

sen (a + b) + sen (a - b) = sen (a) cos (b) + sen (b) cos (a) + sen (a) cos (b) - sen (b) cos (a)

sen (a + b) + sen (a - b) = sen (a) cos (b) + sen (a) cos (b)

sen (a + b) + sen (a - b) = 2 sen (a) cos (b)

Dividindo ambos os termos por 2 :

(1)/(2) [sen (a + b) + sen (a - b)] = sen (a) cos (b)

Logo mostramos que:

sen a cos b = (1)/(2) [sen (a + b) + sen (a - b)]

Passo 2

b) Temos que o cosseno da soma é dado por:

cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sen (a) sen (b)

E também, o cosseno da diferença é:

cos (a - b) = cos (a) cos (b) + sen (a) sen (b)

Assim:

cos (a + b) + cos (a - b) = cos (a) cos (b) - sen (a) sen (b) + cos (a) cos (b) + sen (a) sen (b)

cos (a + b) + cos (a - b) = cos (a) cos (b) + cos (a) cos (b)

cos (a + b) + cos (a - b) = 2 cos (a) cos (b)

Dividindo ambos os termos por 2 :

(1)/(2) [cos (a + b) + cos (a - b)] = cos (a) cos (b)

Logo mostramos que:

cos a cos b = (1)/(2) [cos (a + b) + cos (a - b)]

Passo 3

c) Temos que o cosseno da soma é dado por:

cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sen (a) sen (b)

E também, o cosseno da diferença é:

cos (a - b) = cos (a) cos (b) + sen (a) sen (b)

Assim:

cos (a - b) - cos (a + b) = cos (a) cos (b) + sen (a) sen (b) - [cos (a) cos (b) - sen (a) sen (b)]

cos (a - b) - cos (a + b) = sen (a) sen (b) + sen (a) sen (b)

cos (a - b) - cos (a + b) = 2 sen (a) sen (b)

(1)/(2) [cos (a - b) - cos (a + b)] = sen (a) sen (b)

Logo, mostramos que:

sen a sen b = (1)/(2) [cos (a - b) - cos (a + b)]

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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