Sejam a e b reais quaisquer. Verifique que

a) sen a cos b = 1/2 [sen(a+b) + sen(a-b)]

b)cos a \* cos b = 1 / 2 \* [cos(a + b) + cos(a - b)]

c) sen(a) \* sen(b) = 1 / 2 \* [cos(a - b) - cos(a + b)]

Passo 1

a) Temos que o seno da soma é dado por:

sen ⁡ a + b = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ b cos ⁡ a

E também, o seno da diferença é:

sen ⁡ a - b = sen ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ b cos ⁡ a

Assim:

sen ⁡ a + b + sen ⁡ a - b = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ b cos ⁡ a + sen ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ b cos ⁡ a

sen ⁡ a + b + sen ⁡ a - b = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ a cos ⁡ b

sen ⁡ a + b + sen ⁡ a - b = 2 sen ⁡ a cos ⁡ b

Dividindo ambos os termos por 2 :

1 2 sen ⁡ a + b + sen ⁡ a - b = sen ⁡ a cos ⁡ b

Logo mostramos que:

sen ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 sen ⁡ a + b + sen ⁡ a - b

Passo 2

b) Temos que o cosseno da soma é dado por:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b

E também, o cosseno da diferença é:

cos ⁡ a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ a sen ⁡ b

Assim:

cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b + cos ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ a sen ⁡ b

cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b + cos ⁡ a cos ⁡ b

cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b = 2 cos ⁡ a cos ⁡ b

Dividindo ambos os termos por 2 :

1 2 cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b

Logo mostramos que:

cos ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b

Passo 3

c) Temos que o cosseno da soma é dado por:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b

E também, o cosseno da diferença é:

cos ⁡ a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ a sen ⁡ b

Assim:

cos ⁡ a - b - cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ a sen ⁡ b - cos ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b

cos ⁡ a - b - cos ⁡ a + b = sen ⁡ a sen ⁡ b + sen ⁡ a sen ⁡ b

cos ⁡ a - b - cos ⁡ a + b = 2 sen ⁡ a sen ⁡ b

1 2 cos ⁡ a - b - cos ⁡ a + b = sen ⁡ a sen ⁡ b

Logo, mostramos que:

sen ⁡ a sen ⁡ b = 1 2 cos ⁡ a - b - cos ⁡ a + b

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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