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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 22

Calcule a integral definida.

int_0^1 (x d x)/(x^3 + 2 x^2 + x + 2)

Passo 1

Devemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Antes, vamos fatorar o denominador. Podemos fatorar rapidamente agrupando:

x^3 + 2 x^2 + x + 2 = x^2 (x + 2) + 1 (x + 2) = ( x^2 + 1 ) ( x + 2 )

Agora podemos tentar abrir a fração:

(x)/(x^3 + 2 x^2 + x + 2) = (A)/(x + 2) + (B x + C)/(x^2 + 1)

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A , B e C .

Passo 2

Vamos então fazer a soma:

(A)/(x + 2) + (B x + C)/(x^2 + 1) = (A (x^2 + 1) + (B x + C) ( x + 2 ))/(( x + 2 ) ( x^2 + 1 )) = (A x^2 + A + B x^2 + 2 B x + C x + 2 C)/(( x + 2 ) ( x^2 + 1 ))

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de x .

Passo 3

A nossa fração então fica:

((A + B) x^2 + (2 B + C) x + A + 2 C)/(x (x^2 + 4)) = (x)/(( x + 2 ) ( x^2 + 1 ))

Cada valor que está multiplicado por uma potência de x deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 3 equações:

  1. A + B = 0
  2. 2 B + C = 1
  3. A + 2 C = 0

De (1) tiramos que B = - A e de (3) que C = - (A)/(2) . Então de (2) temos - 2 A - (A)/(2) = 1 => A = - (2)/(5) . Temos então B = (2)/(5) e C = (1)/(5) . Então obtemos nossas frações parciais:

(x)/(( x + 2 ) ( x^2 + 1 )) = - (2)/(5 (x + 2)) + (2 x + 1)/(5 (x^2 + 1))

Passo 4

Agora podemos integrar:

int_0^1 (x d x)/((x + 2) (x^2 + 1)) = - (2)/(5) int (d x)/(x + 2) + (1)/(5) int (2 x d x)/(x^2 + 1) + (1)/(5) int (d x)/(1 + x^2)

= (- (2)/(5) ln (x + 2)|_0^(1 ) + ((1)/(5) ln (x^2 + 1)|_0^(1 ) + ((1)/(5) arctan x|_0^(1 ) =

= - (2)/(5) (ln 3 - ln 2) + (1)/(5) (ln 2 - ln 1) + (1)/(5) (arctan 1 - arctan 0) =

= (3)/(5) ln 2 - (2)/(5) ln 3 + (pi)/(20)

Resposta

(3)/(5) ln 2 - (2)/(5) ln 3 + (pi)/(20)

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