Enunciado

Seja

g x = ∫ 0 x f t d t ,

onde f é a função cujo gráfico está mostrado.

  1. Em que valores de x ocorrem os valores de máximos e mínimos locais em g ?
  2. Onde g atinge seu valor máximo absoluto?
  3. Em que intervalos g é côncavo para baixo?
  4. Esboce o gráfico de g .

Passo 1

Fala, galera! Tudo certinho por aí 😊?

Nessa questão, temos uma função g dada como sendo uma integral definida no intervalo [ 0 ,   x ] da seguinte forma:

g x = ∫ 0 x f t d t ,

onde conhecemos apenas o gráfico da função f no intervalo 0 ,   10 , conforme apresetado abaixo.

Com isso, o enunciado pede para que a gente resolva os seguintes itens:

  1. Encontrar os pontos de máximo e mínimo locais da função g .
  2. Dizer onde a função g atinge o seu valor máximo absoluto.
  3. Dizer quais são os subintervalos de [ 0 ,   10 ] em que o gráfico da função g é côncavo para baixo.
  4. Esboçar o gráfico da função g .

⚠️ Presta atenção aqui!

O gráfico que conhecemos é o da função f , mas os itens que precisamos responder são de características da função g . Será que a gente consegue associar uma coisa com a outra?

SIM!!! Basta usarmos a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo!

Saca só, o Teorema diz que se temos uma função g x =   ∫ a x f t d t ,

então

g ' x = f x .

Ótimo! Com isso, temos que o gráfico dado também é o gráfico da derivada da função g , né? Mas no que essa derivada pode nos ajudar a resolver os itens da questão 🤔?

Moleza!

  • O Teste da Primeira Derivada nos diz quem se um número crítico é mínimo ou máximo local de g , apenas analisando o sinal da derivada g ' ao redor dele.
  • O Método do Intervalo Fechado nos diz que o valor máximo absoluto deve ser um dos máximos locais ou um dos extremos do intervalo de definição da função.
  • O Teste da Concavidade nos diz sobre os intervalos de concavidade de g analisado o sinal da segunda derivada g ' ' .

💡 Para facilitar o nosso trabalho, vamos relembrar da seguinte propriedade das integrais definidas:

  • Se c é um ponto no intervalo a ,   b ,   então vale que

∫ a b f t d t =   ∫ a c f t d t + ∫ c b f ( t ) d t

Pronto, temos tudo o que precisamos para resolver essa questão!

Vamos lá 😊!

Passo 2

Item ( a ) : Em que valores de x ocorrem os valores de máximos e mínimos locais em g ?

Como dito no Passo 1, pela Parte 1 do Teorema Fundamental temos que

g ' x = f x .

Logo, para encontrarmos os candidatos a mínimos e máximos locais, vamos encontrar os números críticos de g , ou seja, os pontos x ∈ [ 0 ,   10 ] tais que

g ' x = f x = 0 ,

ou g ' ( c ) não existe (mas isso não acontece aqui).

Dessa forma, analisando o gráfico de f para encontrar os seus zeros, observamos que os números críticos de g são x = 0 ,   2 ,   4 ,   6 ,   8   e   10 .

⚠️ Mas se atente ao seguinte: Os extremos do intervalo não podem ser máximo e mínimo local, né? Pois a função f não está definida em ambos os lados deles.

Agora, vamos usar o Teste da Primeira Derivada nos pontos são x = 2 ,   4 ,   6   e   8 ! Precisamos avaliar o comportamento da derivada g ' x nesses pontos, ou seja, analisar o comportamento da função f (lembre-se que g ' = f ) nesses pontos.

Analisando o gráfico:

  • Observe que nos pontos x = 2 e x = 6 temos que a função f muda de valores positivos para valores negativos, logo, a função g ' também. Isso nos diz que
  • x = 2       e       x = 6       s ã o   p o n t o s   d e   m á x i m o   l o c a l .

  • Observe que nos pontos x = 4 e x = 8 temos que a função f muda de valores negativos para valores positivos, logo, a função g ' também. Isso nos diz que
  • x = 4       e       x = 8       s ã o   p o n t o s   d e   m í n i m o   l o c a l .

    Passo 3

    Intem ( b ) : Onde g atinge seu valor máximo absoluto?

    No Passo anterior, encontramos que x = 2 e x = 6 são valores de máximo local, porém, na procura pelo máximo global, também precisamos considerar os extremos x = 0 e x = 10 .

    Conseguimos responder esse item sem fazer nenhuma conta, apenas analisando o gráfico.

  • Observe que em x = 0 temos apenas um ponto, e não uma região. Assim, g ( 0 )   =   0 .
  • Para x = 2 observe que g ( 2 ) equivale a área da região entre a curva de f e o intervalo [ 0 ,   2 ] .
  • A partir de x = 2 , temos que a curva alterna entre valores positivos e negativos e, além disso, as “ondinhas” vão diminuindo, logo, a área da região formada por cada onda vai ficando menor, né?

    Podemos pensar que o valor de g ( 6 ) é a soma das áreas da primeira e da terceira onda, subtraída da área da segunda onda, beleza?

    Como o valor que é subtraído é maior do que o que é somado, temos que

    g 2 > g 6 .

    Para g 10 , ocorre a mesma coisa, pois g ( 10 ) é a soma de g 6 com a área da última onda, subtraída da área da penúltima onda. De novo, como o valor que é subtraído é maior do que o que é somado, temos que

    g 6 > g 10 .

    Logo, vale que

    g 2 > g 6 > g 10 .

    Observe que o valor de g é sempre não negativo Pensa assim: Da área de uma onda maior, sempre tiramos o valor da área de uma onda menor. Então, como g 0 = 0 , o máximo absoluto é

    x = 2 .

    Legal, né 😊?

    Agora, vamos confirmar se é isso mesmo através de estimativas para cada um desses valores? Também vamos precisar dessas estimativas para esboçar o gráfico de g , no item ( d ) , beleza?

    Passo 4

    Vamos estimar o valor de g em x = 0 ,   2 ,   6   e   10 , e confirmar que o x = 2 é máximo global!

    Para isso, vamos limitar a área de cada ondinha por áreas de figuras geométricas simples. Saca só como:

    • Observe que a área da região entre cada “ondinha” e o eixo x é menor do que a área do retêngulo de base medindo 2 e altura medindo o valor de f no meio do intervalo.
    • Matematicamente, temos que para cada intervalo 2 i ,   2 ( i + 1 ) , com i = 0 ,   1 ,   2 ,   3   e   4 , vale que

      ∫ 2 i 2 i + 1 f t d t < 2 ⋅ f 2 i + 1 .

      Lembre-se, usamos o módulo pois a noção de área está ligada a valores positivos, porém, quando a curva de f está abaixo do eixo x , temos valores negativos para a integral.

    • Observe que a área da região entre cada “ondinha” e o eixo x é maior do que duas vezes a área do triângulo de base medindo 1 e altura medindo o valor de f no meio do intervalo.
    • Matematicamente, temos que para cada intervalo 2 i ,   2 ( i + 1 ) , com i = 0 ,   1 ,   2 ,   3   e   4 , vale que

      2 ⋅ 1 ⋅ f 2 i + 1 2 < ∫ 2 i 2 i + 1 f t d t .

      Ou seja, com essas análises temos que:

      f 2 i + 1 < ∫ 2 i 2 i + 1 f t d t < 2 ⋅ f 2 i + 1 .

      Dessa forma, uma estimativa para a área

      ∫ 2 i 2 i + 1 f t d t

      pode ser obtida tomando o valor médio do intervalo f 2 i + 1 ,   2 f 2 i + 1 .

      Logo, para cada i = 0 ,   1 ,   2 ,   3   e   4 temos que

      ∫ 2 i 2 i + 1 f t d t ≈ 3 2 f 2 i + 1 .

      Com isso, vamos conseguir estimar o valor de g nos pontos x = 0 ,   2 ,   6   e   10 . Espia só o próximo passo!

      Passo 5

      Vamos estimar os valores de

      g x = ∫ 0 x f t   d t

      nos pontos x = 0 ,   2 ,   6   e   10 , sabendo que

      ∫ 2 i 2 i + 1 f t d t ≈ 3 2 f 2 i + 1 ,

      para cada i = 0 ,   1 ,   2 ,   3   e   4 .

      Vamos usar aproximações para os valores de f 2 i + 1 obtidas através do gráfico. Beleza?

    • Para x = 0 é super fácil né, pois
    • g 0 = ∫ 0 0 f t   d t = 0 .

    • Para x = 2 temos que
    • g 2 = ∫ 0 2 f t   d t ≈ 3 2 ⋅ 0,5 ,

      logo,

      g 2 ≈ 0,75 .

    • Para x = 6 temos que
    • g 6 = ∫ 0 6 f t   d t = ∫ 0 2 f t   d t +   ∫ 2 4 f t   d t + ∫ 4 6 f t   d t ,

      ou seja,

      g 6 = g 2 + ∫ 2 4 f t   d t + ∫ 4 6 f t   d t .

      Como

      ∫ 2 4 f t   d t ≈ 3 2 ⋅ ( - 0,25 ) = - 0,375

      e

      ∫ 4 6 f t   d t ≈ 3 2 ⋅ 0,2 = 0,3 ,

      então vamos ter que

      g 6 ≈ 0,75 - 0,375 + 0,3 = 0,675 .

    • Para x = 10 , o procedimento é análago. Temos que

    g 10 = ∫ 0 10 f t   d t = ∫ 0 6 f t   d t +   ∫ 6 8 f t   d t +   ∫ 8 10 f t   d t ,

    ou seja

    g 10 = g 6 + ∫ 6 8 f t   d t +   ∫ 8 10 f t   d t .

    Como

    ∫ 6 8 f t   d t ≈ 3 2 ⋅ ( - 0,15 ) = - 0,225 ,

    e

    ∫ 8 10 f t   d t ≈ 3 2 ⋅ 0,1 = 0,15 ,

    então vamos ter que

    g 10 ≈ 0,675 - 0,225 + 0,15 = 0,6 .

    Pronto! Estimamos o valor de g nos pontos x = 0 ,   2 ,   6   e   10 . Analisando os valores encontrados, temos que

    g 2 > g 6 > g 10 > g 0 .

    Logo, o máximo absoluto ocorre em x = 2 .

    Passo 6

    Intem ( c ) : Em que intervalos g é côncavo para baixo?

    💡 Pelo Teste da Concavidade, g é côncava para baixo no intervalo I se para todo x ∈ I ,

    g ' ' x < 0 .

    Sendo assim, precisamos analisar o sinal da segunda derivada g ' ' , beleza? Lembrando que g ' x = f x , pela Parte 1 do Teorema Fundamental, então vale que

    g ' ' x = f ' x .

    Como a derivada f ' representa a inclinação da reta tangente a curva de f , então vamos utilizar o gráfico novamente para obter os intervalos em que f ' x < 0 .

    Analisando o gráfico, observamos que a inclinação da reta tangente a f é:

  • Positiva nos intervalos ( 0 ,   1 ) ,   3 ,   5 e ( 7 ,   9 ) .
  • Zero em x = 1 ,   3 ,   5 ,   7   e   9 .
  • Negativa nos intervalos ( 1 ,   3 ) ,   ( 5 ,   7 ) e ( 9 ,   10 ) .

Logo, temos que g   é côncava para baixo nos intervalos

1,3 ,   5,7   e   9,10 .

Passo 3

Intem ( d ) : Esboce o gráfico de g .

Para construir um esboço do gráfico de g , é bom nos atentarmos as seguintes informações que descobrimos:

  • Os pontos de máximo local são : x = 2   e   6 .
  • Os pontos de mínimo local são : x = 4   e   x = 8 .
  • x = 2 é o ponto de máximo absoluto.
  • 1,3 ,   5,7   e   9,10 são os intervalos onde a função g é côncava para baixo.
  • Lembre que a função é sempre positiva.

Além disso, utilize as estimativas encontradas:

  • g 0 = 0 .
  • g 2 ≈ 0,75 .
  • g 6 ≈ 0,675 .
  • g 10 ≈ 0,6 .

Um esboço do gráfico de g é dado abaixo.

Resposta

  1. Os pontos de máximo local são : x = 2   e   6 .
  2. Os pontos de mínimo local são : x = 4   e   x = 8 .

  3. x = 2 é o ponto de máximo absoluto.
  4. 1,3 ,   5,7   e   9,10 são os intervalos onde a função g é côncava para baixo.
  5. Um esboço para o gráfico de g é dado por:

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