Complete a demonstração do Teorema de Green demonstrando a Equação 3.

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo?

A questão aqui pede para demonstrarmos a Equação 3 do nosso capítulo, que é:

∫ C Q   d y = ∬ D ∂ Q ∂ x   d A

Podemos fazer isso resolvendo a integral dupla:

∬ D ∂ Q ∂ x   d A

E a integral de linha:

∫ C Q   d y

E vemos que chegamos no mesmo resultado.

Vamos lá, então!

Passo 2

Queremos provar que

∫ C Q   d y = ∬ D ∂ Q ∂ x   d A

Resolvendo o lado direito como uma região do tipo II temos y entre duas constantes e x entre duas funções quaisquer:

D = x , y   c ≤ y ≤ d ,   h 1 y ≤ x ≤ h 2 ( y ) }

Então temos, esses são nossos limites de integração pra cada variável:

∬ D ∂ Q ∂ x   d A = ∫ c d ∫ h 1 ( y ) h 2 ( y ) ∂ Q ∂ x   d x d y

Resolvendo a integral de dentro, pelo teorema fundamental do cálculo, a integral da derivada é a própria função original. Aplicando os limites de integração, ficamos só com a integral de fora:

∬ D ∂ Q ∂ x   d A = ∫ c d Q h 2 y , y - Q h 1 y , y d y

Passo 3

Agora olhando para a integral de linha

∫ C Q   d y

Colocando C como a fronteira da região descrita D , que pode ser representada graficamente como mostrado na figura a esquerda, vamos escrever C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 ∪ C 4 e calcular a integral como soma das quatro integrais.

∫ C Q   d y = ∫ C 1 Q   d y + ∫ C 2 Q   d y + ∫ C 3 Q   d y + ∫ C 4 Q   d y

Para a primeira curva C 1 , como ela está com a direção para baixo, podemos parametrizar a sua negativa como - C 1 como y = y e x = h 1 y ,   c ≤ y ≤ d e temos

∫ C 1 Q   d y = - ∫ - C 1 Q   d y = - ∫ c d Q h 1 y , y   d y

Para as curvas C 2 e C 4 temos y constante então d y = 0 , logo

∫ C 2 Q   d y = ∫ C 4 Q   d y = 0

Para C 3 podemos parametrizar como y = y e x = h 2 ( y ) com c ≤ y ≤ d e temos

∫ C 3 Q   d y = ∫ c d Q h 2 y , y   d y

Então temos

∫ C Q   d y = - ∫ c d Q h 1 y , y   d y + ∫ c d Q h 2 y , y   d y

Escrevendo a subtração de integrais como a integral da subtração:

= ∫ c d Q h 2 y , y - Q h 1 y , y d y

Como provamos no passo anterior

∫ c d Q h 2 y , y - Q h 1 y , y d y = ∬ D ∂ Q ∂ x   d A

E temos

∫ C Q   d y = ∬ D ∂ Q ∂ x   d A

Resposta

Demonstração.

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